16 C KELLE. Eine Anwendung der Facultütentheorie 



Endlich wird, nicht sowohl aus der allgemeinen Tajlorschen Reihe, 

 als vielmehr a priori, und auf ganz ähnliche Art wie jene gefunden wird, ein 

 eben so allgemeiner Ausdruck aufzustellen sein, welcher F{x-\-lz), nicht 

 wie die allgemeine Taylorsche Reihe durch die wiederholten Diffe- 

 renzen der Glieder der Reihe Fx, F{x-\-e\ F{x -^-ze), 2^(x + 3(s) . . . ., 

 sondern vielmehr durch ihre wiederholten Summen giebt. Auch dieser 

 Ausdruck wird Formeln für die Binomial-Coefficienten liefern, wenn man 

 darin Fx ^ x^ setzt. 



Man kann aber noch, nicht sowohl Fx = x^, als vielmehr Fx = n^ 

 setzen; welches ebenfalls Ausdrücke für die Binomial-Coefficienten liefern 

 wird, von welchen insbesondere diejenigen einfach ausfallen, welche sich 

 aus der letzten allgemeinen Entwickelungs- Formel ergeben, in welcher die 

 Summen der Glieder der Pveihe Fx, F(x-\-e), i^(a;-H 2 e).... vorkommen. 



l. Unmittelbare Anwendung der allgemeinen Taylorschen Reihe 

 auf die Binomial-Coefficienten. 



9. 



Zunächst ist zu bemerken, dafs sich der allgemeine Taylorsche Lehr- 

 satz (6) auch wie folgt ausdrücken läfst. Schreibt man nämlich ke statt /c, 

 so giebt (6) 



56* F(x+ke) = Fx+k, A^^Fx + k,Al^Fx+k,Al^Fx 



•^ •, ,7 . F(.r + ke) — Fx 



+k^K.F-^'+^^A^'-i^)K-- — ^7 • 



Schreibt man in (6) erst — e statt ■+■ c, welches angeht, da e gänzlich 

 willkürlich ist, und darauf /ce statt k, so giebt (6) folgenden andern Ausdruck: 



F{x-hke)=zFx — k,A_^Fx+(k-\-i),A'__^Fx—{k-i-2)^Ai^Fx 



57. ...+(- ^)'X7.-^,y.-l),A^Fx-^(-l)'X/c-^/^--l),X/^-M)A:, f^"t!I^''" ) 



Sodann ist, nach dem Sinne des Zeichens A: 



58. 



A_^Fx = F(x—e) — Fx = — A^^F(x—e) 

 Al,Fx = A_^F{x—e) = + Al^F{x—2e) 

 Al^Fx = A'_,F{x — e) = — Al^F(x — 3e) 



