und der allgemeinen Taylorschen Reihe auf die Binomial- Coefßcienten. 1 7 



Setzt man dieses in (57), so ergiebt sich folgender dritte Ausdruck: 

 59. F{x-\-ke)=^Fx+k,t^^ F(a7-e)+(7^+i)„A^, F{x-2e)+(h^2)^^l, F{x-ze).... 

 +(/;:+f*-i),A:, F{x-lxe) + {k + ^J.-^)^{k+^)^.l, F(.:+ke)-F. 



In diesen verschiedenen Gestahen (56. 57 und 59) läfst sich der allge- 

 meine Tayloi'sche Satz auf die Binomial- Coefßcienten wie folgt anwenden. 



10. 



A. Man setze 



60. Fx = a% und e = i , 



so ist 



61. 



A^,Fa; = (x+i)^ — -^« = '^u-i (3S), also 

 Ki Fx = A^, x^_, =x^_„ 



A^, Fx = a:„_„ = jc,= i (32), 

 . A;t'Fa:=a;^_„_, = a'_, = o (48) für A = 1,2,3 



Setzt man nun (61) in (56), so ergiebt sich 



62. (x-i-7c),^=zx^+ lx,x^_^ + /c„a-„_2-i- k^x,^_^ +k^_, x + k,/ 



oder, wenn man Ji statt x ■+■ k schreibt, 



63. n^= (n—k)^ + k,(n — k)^_,-i-k,(n-k)^_,.... + k^_,(n-k), 



+ k^_,{n-k), + k^, 

 wo 7c gänzlich willkürlich ist. Diese Reihe für n,^ ist diejenige, welche 

 auch aus einer der bekannten Facultäten-Entwickelungen unmittelbar her- 

 vorgeht; wie gehörig, da die Entwickelung denselben Weg nimmt. 



B. Ist 72 — k = e gleich einer ganzen positiven Zahl und £ < /a, wo k 

 noch nicht nothwendig eine ganze positive Zahl ist, so fallen in (63) die 

 ersten Glieder bis zu dem Gliede 7c^_. e^ weg, weil in diesen ersten Gliedern 

 n — k negative Zeiger hat. Die Reihe (63) reducirt sich also in diesem 

 Falle auf 



C. Ist k eine ganze positive Zahl y. und < /a, so fallen in (63) die letz- 

 ten Glieder mit >«„, n^_,, Jt „_„.... k„^, weg und die Reihe reducirt sich auf 



65. n,=:(7Z—>c) „-!-/„, (72 — k).,_, + K2(7Z — >c)„_2....-f-K^_2(« — k)„_^^2 



+ ^„_, (« — »'-)„_,+ , +(72— >J)„_.. 



Phjsik. - math. Kl. 1843. C 



