18 Grelle. Eine Anwendung der Facultätentheorie 



D. Ist auch n eine ganze positive Zahl v und v — jc = s, auch zugleich 

 £<ju, >c<iw, also v<2//, so fallen in (65) auch die ersten Glieder mit s^, 

 s^_i> ^ß-2 ^+1 ^^o ^^^ ^^^ Reihe reducirt sich auf 



E. Setzt man in (63) — k statt + 7c, so verwandelt sich (63), weil 

 nach (46) (— k)^= (k + X — i),^ (— i)^ für A = i, 2, 3, 4.. ..ist, in 



67. Ji^ = (ii+k)-k, (n+7c),^_, + {k+i), (n+k),,_, 



.... + (-i)''-'(/f+^i-2),_, («+/.-), +(-!)- (7c+M-i)^. 



F. Ist in (67) n negativ und k — 7z = s < ju, so fallen die ersten Glie- 

 der mit £^, £^_,, £;„_2 ••••S£+, weg und die Reihe (67) reducirt sich auf 



(-n),=(-i)''-'(7. + ,^_E_,)^_,£,+(-i)— (7c+,^-e),_,.£,_, 



+ (— i)"-* (7c+|u — 2),^_, £, + (— i)'' (7t +// — 1)„ oder 



68. (—n),X—iY = {^- + l-' — i), — {f^ + H—2),_,e + {k + iJ, — 3)^_^e, 



+ (— 0'"' (^■^+/^ — £)^_.+, £.-, +(—!)' (^'+M— s— i)«-. • 



(t. Setzt man in (63) das willkürliche kz=z7i — jjl, so erhält man 



69. n^^—i + {n—ix)^f/.,-i-{n — iX)^ix^+(n — iJ.)^lj,^... + (n — iJ.)^_^IJ.^^_,+{n—iJ.)^. 



II. Ist n eine ganze positive Zahl v und v — M < i^^, also v < 2,u, so fal- 

 len in (69) die letzten Glieder bis zu dem Gliede mit (v — f'i)„_„ weg und 

 man erhält 



I. Ist in (69) « = V < ju und v — iji. = — £, so ergiebt sich 



71. 0=H-(-£),f/,H-(-£),/^,-f-(-£)3fX3 4.(_£)^_,^^_,+(_£)^ 



oder zufolge (46) 



72. = 1— £,^,+(£+l),,^,-(£ + 2)3,/3.... + (— l)''-'(£+^ — 2)^_,//^_. 



+ (— l)''(e + M — 1)„. 

 Für £ = i giebt (72) 



73. 0=1— ix^+ix^ — jj.^. ... + (— iYz=(i — iy = o; 



wie gehörig. 



K. Setzt man in (67) k-=.jx — n, was also, da dort ä: positiv ist, 



IX > n voraussetzt, so giebt (67) 



74. n^=\ — {ix — n),\x, + {ix — n + \)„jx^..,. + {—\y-'{2ix — v—2)^_^ix^_^ 



+ {—iy{2fx—v — \)^. 



