und der allgemeinen Taylor sehen Reihe auf die Binomial- Coefficienten. 19 

 L. Setzt man in (67) 7J := jw — s und /c = k + s, so ergiebt sich 



75. (^_£)^ = (^ + k)^^ — (jt_£), (/X+k)^_,+(>£ + £+i)2(/^+>4)^_2 



•••• + (— O''"'(>'-H£+f^ — 2).-,0>H->«),+(^ — i)"(«+s+F—i)^, 

 oder auch, da zufolge (43) (|U + >c)„_^= (jU + >c)^^„_,^^, = (/^ + >t)„^, ist, für 

 jedes X: 



76. (pi— £)„ = (^+k),— (k + £), (fU + K)„^, +(^+£+1), ((U+J«),^2 



+ (— i)""' (." + >'- + ^ — 2)„_, (M + '<:)„+._, +(— i^du + Jt + s — i)^. 



Für }t = giebt (76) die Gleichung (72) und ist also eine Verallgemeinerung 

 derselben. 



M. Setzt man in (61) der Reihe nach x — i, x — 2, x — i.... statt x, 

 so ergiebt sich 



A^,F(x-i) = (a7-i),_, 

 ^.l,F{x-2) = {x-2),^_, 



11. ] KiF'{x—z) = {x — i),^_, 



Al,F{x — ix) = {x—iJ.)^_,^= (x — iJ.)^ = i 

 . ^+T^('^—I^) = (•^ — 1^— ^)_>.=o, für jedesA. 

 Setzt man nun (77) in (59), so erhält man 



78. (x+Jc)^=x,^+k, (j;—i)„_, + (/c+ 1)2(0:— 2)^_2 



+ {f^+l^ — 2),^,(ji: — fj.+ i),+{k+ix — i)^ 



oder, wenn man n statt x + k schreibt : 



79. n^ = {n-7^)^+k, (,z_A_i)„_, + (Ä:+i), (7i-k-2),^_„_ 



... + (k+iJ.—2)^_^(n — k — ix + \), + {k+iJ. — i)^. 



In diesem Ausdruck darf jedoch n — k oder in (78) x nicht eine posi- 

 tive ganze Zahl < jj. sein. Denn für x <. ij. sind in (59) Fx, A^^F(x — e), 

 i^l^F(x — 2c) U.S. w. zufolge (77) sämmtlich Null; dagegen wird (k+fx — 1)^^, 

 wenn fj. immerfort wächst, unendlich grofs. Die Reihe endigt also alsdann 

 nicht und giebt blofs einen unbestimmten Ausdruck von (x + A),,. 



N. Setzt man in (79) — k statt + k, so ergiebt sich 



80. n,={n+k),, + {-k),{n+k-i)^_, + (-k+\),{n+k-2)^_, 



(—k + |J.— 2)^_^{7^ + k — |J.+ l)^+(—k+^l. — l)^ 



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