20 Grelle. Eine Anwendung der Facultätentheorie 



oder, da zufolge (46) (— k + A),^, = (A: — A + A + i — i),^, . (- i)^^' 

 =:/f^^^ (_ 1)' + ' ist, für jedes A: 



81. n,^ = (n-i-k),, — Ic, {n+Ji:—i)^_,+k.,(n+7i — 2)^^_^ 



.... (—i)-^-' /.",_, (7J+Z:— //+!), + (— i)"Z:/, 

 wo nun zufolge (M) n+h keine ganze positive Zahl < fj. sein darf. 



O. Ist n + k eine ganze positive Zahl s, was noch nicht« und k selbst 

 als positive ganze Zahlen voi'aussetzt, so giebt (81) 



82. „^ = £,_Ä-, (£_!)_. + Ä:,(£-2),_,....(-i)''-'/c„_,(£-M+i).+(-i)'*A',, 



oder auch, da nach (43) (s — A)^ ,,= (s — A)j_,_,,^_,,= (e— A),_,^ für jedes A ist, 



83. 7Z^ = E,_,^ — (e — 7j), (e— 1)^_^^ + (£ — n)^ (£_2)^_^^ 



.... + (— i)"-'(E—n)^_,(£—/^+i),_^ + (—i)''(£ — n)„; 

 wo nun £ > ju sein mufs. 



P. Ist k eine ganze positive Zahl k<. jj., so fallen in (81) die letzten 

 Glieder bis zu dem Gliede mit k^ weg und die Gleichung reducirt sich auf 



84. «,^:=(ra+K),^ — jc, (tz+jc— i)^_, +K„(ji+>i—2)^^_„ 



. . . . + (-!)"-' K_, (7i+l),_^^, +(_l)''«^_^, 



wo nun Ji-hK, wenn es eine ganze positive Zahl ist, nicht < ju sein darf. 

 Q. Ist in (84) auch 71 eine ganze positive Zahl v, so ergiebt sich 



85. 1/^ = (v + k),^ — >t.,(v + K— l)^_, + Jt„(l' + JC — 2)^_2 



• • • •+(-0""' ''»-. ("+!).-«-,-. +(-0" ^.-« 



oder, i' + K = £ gesetzt, wie in (O): 



86. v,=B._,-(e-v),(s-i)^_,^-h(s-v), (e-2)^_^ 



wo nun £ > ju und a < fx, also s — v < ju oder e < ju+v sein mufs. 



jR. Sind in (81) n und k beide ganze Zahlen i/ und k, und ist k>\x, 

 also £ — 1/ > |!^, welches dann die andere Bedingung f> fx schon von selbst 

 erfüllt, so ergiebt sich 



87. ,,^ = £,^_(£_v),(£-l)^_.+(£-v),(£-2)_, 



.... + (— i)''-'(e-i')„_,(£-/^+i).+(-l)"(^-''X^ 

 oder vermöge (e— A) = (s— A) (43) = (e— A) : 



II.— y. £_x_(fi_?.) £—1* 



