und der allgemeinen Taylorschen Reihe auf die Binomial-Coefficienten. 21 

 88. ,^=£_ _(£_,), (s-i),_„+(e-v),(s-2)_ 



wo £ > |u + V und V > ju vorausgesetzt wird. 



iS". Setzt man in (79) das willkürliche k gleich n — ju, was die Bedin- 

 gung, dafs n — k nicht eine ganze positive Zahl </>t sei, erfüllt, indem jetzt 

 n — k gleich yL ist, so ergiebt sich 



89. n^=i. + {n — ix)^ + {n — jx+\)„ + {n — ix+2)^ (« - 2)„_, +(n— 1)„, 



ohne weitere Bedingung. 



T. Ist in (89) n eine ganze positive Zahl v, so ist v^'= v^_^ (^3)j ^Iso 

 giebt dann (89), wenn man \x statt v — fj. schreibt, 



90. v^=H-iW,+(f^+i)2 + (pi-t-2)3..,.i'— 2),_,_,+(;' — 1),_^ oder auch 



91. i/^=H-,^,^_,+(,^ + l)„_,+(^4-2)„_,....+(l/-2)_, + (l/ — !)„_,. 



Diese Gleichung (91) ist der nach Fermat imd Pascal benannte 

 Ausdruck für die sogenannten figurirten Zahlen. 



U. Setzt man in (91) i'+ju— i statt v, so ergiebt sich, die Reihe in 

 umgekehrter Ordnung geschrieben: 



92. (''+/^—i),.=(i'+|U—2)„_,+(v+^—3)„_, +(!/+// — -l),.-,'--'H-^ 



also, da zufolge (46) (i/ — /^. + i)„=(— f)„ (— 1)~'=( — 1')„ (— i)' imd für jedes 

 A, (, + ,^_A)^_,=(-i' + A-2)_,(-i)-' ist: 



(-v)„(-i)—(-i)-'[(-.)„_.+(-.+ i)„_.+(-v+2),_.. ...(-!)„_,] oder 



93. (_.),-_[(-l)_, + (-2)_,+(-3),._..... + (-0,._.]. 



T^. Die Gleichung (92) kann in umgekehrter Ordnung auch wie folgt 

 geschrieben werden, 



94. (i' + /vl-l)„ = 0/— l)„_,+f^_,+ (^+l)„_,+(/^ + 2)^_, l-(i' + M-2),_,. 



Multiplicirt man dieses mit (— i)", so erhält man zufolge (46): 



95. (_,)^=(_,)'[(^_i)_,4-^„_,+ (f^+i)_,+(/a+2),_. 



...• + iy+iJ.—2%_,] 

 oder auch vermöge (43): 



96. (-v),. = (-iy'[i + f^,+(/^+i), + (^i+2)3.... + (+/^-2),_J. 



