22 Grelle. Eine Anwendung der Facultätentheorie 



II. Herleitung des allgemeinen Ausdrucks von Ai^Fo; 

 aus der allgemeinen Taylorschen Reihe. 



11. 



Man setze in der allgemeinen Taylorschen Formel (6) der Reihe nach 



97. k=ze, 26, 3e Xe, 



so erhält man 



/Fx = Fx 



F(x + c) =Fx +^+, Fx 



F{x-\-2e) :=Fx H-2,A^^Fa7 +Al^Fx 



F(x + 3e) =Fx +3,A^,Fa7 +32A^,Fa:+A^Fa; 



F(x+Te) =Fx +T,A^,Fa; +r.2Al^Fx 



gg iF(a'+(T+i)e)=Fr+(T+i),A^,Fx+(T+i),AtFr 



+(r+i)AlFx+{r+i)^^,A::'Fx 



F(x+(T+2)e) = Fx+(T+2)^A^^Fx+(T+2)^Al^Fx 



+(T+2)^A;,Fr+(r+2),^, A;+' Fa;+(T+2),^.A::'=Fa; 



F(x+{X- i)e)=Fx-(Ä-i), A^, Fx+{X- i),A;, Fx 



+(A-i),A;,Fr+(A-i),^, A;r Fr 



I F(a:+Ae) =Fx +A,A^,Fa; +?,^Al^Fx 



V +A,A;,Fa; +A,^,A;r'Fx +A,A;,Fa:. 



Nun multiplicire man die erste dieser Gleichungen mit i oder A^ , 

 die zweite mit A, , die dritte mit A^ u.s.w., die r+ite mit A^, die T+2te 

 mit A^^, etc., die vorletzte Ate mit A^_,, die letzte A + ite mit A^ oder i, 

 nehme die Producte abwechselnd mit entgegengesetzten Zeichen und ziehe 

 sie zusammen, so ergiebt sich aus den Gliedern linkerhand 



99. Fx — A,F(a^+e) + A,F(:t;+2c)— A3F(a:+3e) 



....+(- i)^-'A,_.F(x + (A-i)e) + (-i)^F(a:+Ae). 

 Rechterhand wird eine beliebige Reihe senkrecht unter einander 

 stehender Producte, z. B. derer, die sämmtlich A^^Fa; enthalten, durch 



100. {A, _A,,. (t+i)^+A,,, (r+2), -A,,3(t+3), 



.... + (-i)^-'A._.(A-i),+(-i)^A,AjA;,Fa-, 



