und der allgemeinen Taylorschen Reihe auf die Binomial-Coefficienten. 23 



oder auch zufolge (43) durch 



101. {A,-X,^.(t+i).+A,^,(t+2),-ä,^3(t+3)3 



. . . .+(-ir-'A,_,(A-i),_._, + (-iyA,Ä,_jA;,Fa; 

 ausgedrückt. 



Nun setze man in (76) jn = A — t, e = i und jc ^ t , 

 so ergiebt sich 



102. (A-t-i),_,=A,-A,^,(t+i),+A,^,(t+2),-A,^3(t+3). ... 



+(-i)'-'A,(A-i),__. +(-!)' A,_, 



also reducirt sich (101) auf 



103. (A— T— i),_,A;,Fx. 



Es ist aber nach (44 und 48) (A — r— i)^_^^ o, für alle r, von i an 

 bis A — 1, so wie auch für T>A. Blofs für t = A ist (A — t — i)^ ,.=( — i)^ 

 = 1 (32). Also ist die Summe der sämmtlichen Producte, die man rechter- 

 hand in (98) erhält, bis auf das einzige letzte Glied in der untersten 

 Reihe, welches (—i)'A,.A,A^, Fa; = (—i)'A;. Fo: giebt, Null. Folglich 

 ist dieses einzige Glied der Reihe (99) gleich und folghch erhält man 



i04. Fx—-K^F{cc+e)+\F{x+2e) — -k^F{x+3e) 



+(-i)^-'A,_,F(a7+(A-i)e) + (-i)^F(a:+Ac)=(-i)'A:,Fa: 



oder, mit ( — i)' multiplicirt und die Reihe in umgekehrter Ordnung ge- 

 schrieben: 



105. ^X,Fx=F{x+Xe) — K^F{x+{X—\)€)+KF{x+{X-2)e) 



+{-xf-'X,_,F{x+e)-[-{-iy Fx. 



Dieses ist der Ausdruck der ersten Differenz von beliebiger Ordnung der 

 Glieder der Reihe Fx, F{x-^e), F{x+\e) . ... F{x+Xe) durch diese 

 Glieder selbst. 



Die Anwendung derselben auf die Binomial-Coefficienten ist Folgende. 



III. Anwendung des Ausdrucks von A^^Fx auf die 

 Binomial - Coefficienten. 



12. 



A. Man setze wieder 



106. Fa; = j:^ und e = 1, 



