24 Grelle. Eine Anwendung der Facultätentheorie 



so ist nach (61) 



107. A;,a;^ = :r„_, 



für jedes beliebige A. Setzt man dieses ia (105), so ergiebt sich 



108. x^_^=z{x+'h)^ — 'k^ (a:+A — i),^+A2(a;+A— 2)^— A3(a:+A— 3)„ 



.... + (-i)^-*A,_.(:>;+i)„+(-i)'\r,, 



oder, wenn man n statt oc, e statt A, und ju + s statt [x schreibt, 



109. 7z^^ = (7z + £)^^^ — £, (n+£_i)^^^ +£^(,z+£_2)^^^ 



••••(-!)'"' £.-,(«+i).-H.+(-i)'«.-HÖ 

 wo £ eine willkürliche positive ganze Zahl ist. 



B. Setzt man in (109) it/ = o, so ei-giebt sich 



HO. l=(7H-£),— £,(7I + £— l)^+£, (n + £ — 2), 



....(-l)^-'£,_,(7Z + l), + (-l)'n,. 



C. Setzt man in (109) — 77 statt 77, so ist 



m- (-")h=(-" + Om+. — ^. (-" + £— l),.-He +^2 {-n + ^-2\^, 



....(-l)'-'s,_.(-77+l),,,+(-l)^(-77),,, = (7Z + M-l)„(-l)^(46). 



Schreibt man hierin 77 statt n-i- jj. — 1 , also ij. — 1 — 77 statt — 77, und 

 multiplicirt mit ( — 1)", so ergiebt sich 



112. 77,, = (_l)»[(^+£_77-l)„^,-£,0^ + £-72-2),^, + £,(^^ + £- 77-3),,^., . . .. 



D. Ist 77 eine ganze positive Zahl c > ju, aber < |U + e, so fallen in 

 (109) letzte Glieder weg, bis zu dem Gliede, in welchem iz+e— A=jw+£, 

 also A = y — IX ist, und die Gleichung (1) reducirt sich auf 



113. V„=(i^ + e)„^, — £, (i;+£_l)„^^ + £„ (^ + £—2)^^^ 



( — i)''-"-'e„_^_,(^1 + £+i) ._, + ( — 1)''~''£„_„. 



E. Ferner fallen für n = v in (112) zwar keine letzten Glieder weg, 

 indem /^ — v — i negativ ist, da v> jjl sein mufs, aber erste Glieder können 

 wegfallen; nemlich alle Glieder, für welche fx + s — v — A positiv oder o 

 und < /^ + E ist. Für das erste bleibende Glied ist ix + e — i/ — A = — i, 

 also A = /vi + £ — v + i. Dadurch reducirt sich (112) auf 



114. .,-(_i)'[(_i)"+=-'£„^^_X-l),,, + (-0"-^^-^-^'£,^._„,,(-2).+. 



