26 Grelle. Eine Anwendung der Facultätentheorie 



IV. Herleitung von Gleichungen zwischen den Gliedern 

 einer Reihe und ihren wiederholten Differenzen. 



13. 



A. Setzt man in der allgemeinen Taylorschen Formel (6) der 

 Reihe nach 



122. /r := 0, — e, — 2e, — se.... — Xe...., 

 so erhält man 



Fx =Fx 



F(jc—e) =Fa: —ijA_^^F.v -\-2„A\^Fx — Sj A^^Fo:.... 



... + (-i)'r,A;,jPa: 



\F{x — 2e) =Fx —2,A_^Fx -h-3,Al^Fx —it^Al^Fx.... 



...+(-i)^(T+i),A;,Fa; 



i23.^F{x — 3e) =Fx —3,A_^,Fx -t-i^A^^Fx —5,Al,Fx.... 



...-t-(-iy(T + 2)^Al^Fx 



F(x—(K—\)e)=Fx—(K—i)^A^^Fx -t-X^Al^Fx—{X-i-i)^Al^Fx.... 



.. . + (— i)'(t + A— 2)^A_|;,jP^ 



F(x-Äe) =Fx -X,A^^Fx+{X-i.i),AlFx-{Ä+2),Al,Fx.... 

 V ... + (— i)^(T+A-i),A;,Fa: 



B. Man multiplicire die erste dieser Gleichungen mit ( — i)°Ao = J» 

 die zweite mit ( — i)'A,, die dritte mit ( — i)^^^ u. s. w. , die vorletzte mit 

 ( — i)^~' A^_, und die letzte mit ( — i)'^ Ä, — ( — i)'' und nehme die Summe 

 der Producte. 



Dieses giebt für die Glieder links sämmtlicher Gleichungen: 



124. Fx — K,F(x—e)+X^F{x—2e)—X^F(x—3e) 



+(-1)'-' K..F(x-(K-i)e) + (-irF(x-Ae). 



C. Rechterhand giebt die erste Reihe der senkrecht unter ein- 

 ander stehenden Glieder, also derjenigen, welche sämmtlich Fx enthalten, 



125. Fa^[i — A,+A,-A3....(— i)^-'A,_,+(— i)'Aj=Fa7(i-l)' = o. 



D. Jede folgende Reihe rechts senkrecht unter einander stehender 

 Glieder, z. B. aller derer, welche sämmtlich AX. Fx enthalten, hat zur Summe 

 der Producte : 



