28 Grelle. Eine Anwendung der FacuUätentheorie 



Dieses ist eine allgemeine Gleichung zwischen den Gliedern der Reihe 

 Fx, F{x + e), F(x + 2e)....F(x—e), i^(a7— 2 e). ... und ihren ersten wie- 

 derholten Differenzen. 



H. Da in (131) e willkürlich ist, so kann man auch —e statt + e 

 schreiben. Dieses giebt: 



132. Fx—?.,F{x-t-e)-i-KF(x-^2e)->.^F(x+3e) 



+ {-iy-'\_,F{x+(X-i)e)-i-{-iyF(x + Xe) 



= M.Fx-?.,^'_-^'Fx+{X+i),A^-^/Fx-{K + 2yAtT'-Fx 



+ (A + 3),Airi^a; 



Nun ist zufolge (58) : 



133. A'_eFx={-i)l,F(x-Xe). 



Benutzt man dieses für (132), so erhält man 



134. Fx—Ä, F(a:+e)+A„ F(a7-f-2e)— A3 F{x+3e) 



+ (-i)'-'A,_,F(a;+(A-i)e)+(-i)^i^(a:+Ae) 



= i-iT[MeF{x-he)+X^MVF(x-(X-i.i)e) + (X-i-i)^AiVF(x-(?.-h2)e) 



+ (A + 2)3AirF(-(A + 3)e) ]. 



Dieses ist eine zweite allgemeine Gleichung zwischen den Gliedern der 

 Reihe Fx, F(x+e), F{x+2e) .... F(x—Xe), F{x—(X-i-i)e), F(x— (A+2)e).... 

 und ihren ersten wiederholten Differenzen. 



V. Anwendung der allgemeinen Gleichungen zwischen den 



Gliedern einer Reihe und ihren wiederholten Differenzen 



auf die Binomial - Coefficienten. 



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A. Setzt man wiederum Fx^x^, e=i, so dak ^^,x^ = x^_^, 

 hierin der Reihe nach x — 1, x — 2, x — 3 etc. statt x, imd dann die Resul- 

 tate in die allgemeine Entwickelungsreihe (131), so erhält man: 



135. x^—X, (x—i)^-{-X„(x—2)^—K^(x—3)i^ 



....+(-i)^-'A,_,(a:-A+i)^+(-l)^(ar-A), 



Hier fallen rechterhand alle Glieder weg, in welchen die Zeiger zu x 

 negativ sind. Also ist für das letzte bleibende Glied jj. — X — t r= 0, folg- 

 lich T = fj. — A. Daher reducirt sich die Reihe rechts in (135) auf 



