und der allgemeinen Taylorschen Reihe auj die Binomial-Coefficienten. 29 



136. JJ^_x ^1 ■3?;„_)._| +('*^ + l)2'^^-)i-3 



.... (_l)"-^-(^_2)^_,_.^. +(_!)"- (,^_1)^_^, 



und man erhält aus (135), wenn man Ji statt oc und e statt A setzt, die Gleichung 



137. n^—t^ (n— i)„ + S2 (n— 2)^ — £3(n— 3)^ 



....+(-])'-• £,_,(7l-£+l),, + (-l)^ («-£)„ 



+(-ir-^-'(f^-2)._._.+(-ir>-ix_. 



für jedes beliebige n, |!^ und e < jw. 



ü. Setzt man in (137) das willkürliche e gleich ju, so bleibt rechter- 

 hand blofs das erste Glied n^ = i und man erhält 



138. n„ — Ml (n—i)„+iJL.^(n — 2),^ — l^jin — 3„ 



•-•+(— i)''"V,x_,(« — f^+i)-^+(—i)"(« — M).= 1; 



welches mit (110) übereinkommt, wenn man n + s statt n und £ statt (j. setzt. 



C. Ist £ > jw, SO sind alle Glieder rechts in (137) gleich Null, also 

 ist alsdann 



139. /;„ — £,(«— i)„4-£2(7i — 2),, — £3(72 — 3), 



+( — l)'-'£,_,(« — £+l)„ + (— i)'(n — £)„=0. 



D. Setzt man das obige A+t^i.'=^i^^t. noit den verschiedenen Werthen 

 von X in die andere allgemeine Entwickelungsformel (134), so ergiebt sich : 



liO. o:" — A, (cc-t-i),^ + Ä^(x-i-2\ — A3 (a:+3X 



.... + (- i)'-'A,_,(a:+A-i)„ + (-i)\a;-|-A)„ 

 = (-0'[(a:-AX_, + A,(a'-A— iX_,_,+(A+i)2(j:-A— 2X_,_,.... 



+ (A + T— O^J-' — A— tX_,_, ], 



wo man wieder n und £ statt x und A schreiben mag. Die Reihe rechts 

 bricht wieder für r^ jw — A ab und folglich reducirt sich (140) auf: 



141, n„ — £,(72 + i)„H-£^(« + 2X— e3(nH-3)„ 



h(—i)'"' £.-,(«+£— Ou+( — 0'(«-i-£). 



= (-1)' [(7J-£X_, + £,(7Z-£- !)„_,_, + (£+l),(7i-£ — 2)„_,_2 



+(M — 2)„_, + , (« — M+ 1), +(f^— IX- J- 



JS. Setzt man in (141) das willkürliche e gleich ju, so bleibt rech- 

 terhand blofs das erste Glied jj^ = 1, und man erhält 



142. Tj,, — ,^,(n + i)„+//2 (n + 2)^-/^3 («+3)^ 



+(— )r~V._i(n+/^— i),u+(— i)"(n+M);.=(— !)"• 



