30 Grelle. Eine Anwendung der FacuÜätentheorie 



F. Ist in (141) £>fx, so sind alle Glieder rechts Null, und folglich 

 ist alsdann : 



143. 72,, — £, (7i+l)„+£,(n + 2X— £3(7I + 3)„ 



+ (— 1)'"' £,_, (n + £— l)^+(— 1)' (« + £),,= 0. 



G. Setzt man in (141) das willkürliche e gleich i, so bleiben links 

 nur die beiden ersten Glieder und man erhält, wenn man n statt n + i schreibt, 



144. n^ = (n_i)^ + («_2)^_,+(n-3)^_,4-(n.-4)^_3 . . . . + (,i_fx), + i; 

 was mit (89) übereinkommt. 



H. Ist n eine ganze positive Zahl v, und |u > i/ — ju, also 2 />i > v, so 

 fallen in (138) die letzten Glieder bis zu ( — i) "" /^.-»^ (" — (" — 1"^))^ 

 = ( — i) "'^ l*^.--!» "*^^§> ^^^ ™ä° erhält: 



145. ^ — /X, (v — O^ + fA^ (" — 2)^ — ^tj (f — 3)^ 



+ (— l)'-^-' M.-^_, (/^+l)^+(— l)''~''^l._,= 1. 



J. Ist « = f und £ > i», so giebt (139) : 



146. ^— £,(!' — l)„ + £2(i' — 2)^— £3(^ — 3)^ + (— l)''~"£„_„^t^ 



+ (-i)""^'"*"'£.-.+.(M-i).+(-i)''~"^'^-.+2(f^-2)..... + (-i)"'£.o, 



+ (-0""'^... (-!).+ (- 0""^^.-. (-2). 



+(—l)^-'£,_,(i; — £+!),,+ (— l)'(v — £)„ = 0. 



Die in der zweiten Reihe stehenden Glieder sind sämmtlich Null; die 

 in der dritten Reihe lassen sich nach (46) verwandeln und man findet zu- 

 sammen : 



147. l/^— £,(1/ — l)^ + £2(£ — 2),, — £3(f — 3)„ + (— l)''-^£,_^ 



= (— l)""^"[^+. — ^-H2(f^ + 0. + £.+3(f^+2), 



. . . . + (— l)^-^-'£._, (m + £— i' — 2),_„_,+(— l)^-"-'(f^ + £— v — l).-..-,]- 



VI. Entwickelung allgemeiner Gleichungen für das letzte 

 Glied einer Reihe durch die wiederholten Summen der Glieder, 



15. 



Die der Entwickelung der allgemeinen Taylorschen Reihe ganz ähn- 

 liche Entwickelung a priori der in (§8) gedachten allgemeinen Gleichung 

 zwischen den Gliedern einer Reihe und ihren Summen ist folgende. 



A. Es ist identisch: 



148. F(jc + k) = Fa: + k — -^ 



