und der allgemeinen Taylorschen Reihe auf die Binomial-Coeffidenten. 31 



und wenn man 



U9. £<f±i)ll£--=/(.,A.) 



setzt 



150. F{x + k) = Fx + kf{x,h). 



B. Nun verändere sich x um + e und zugleich 7c um — e, so bleibt 

 F(x+k) unverändert Dasselbe und (150) giebt: 



151. F{x+k) = F(x+e) + (k — e)f(x+e,k — e). 



Die Summe von (150 und 151) ist, wenn man durch S bezeichnet, 

 dafs in Dem, wovor 2^, steht, x um +e und k um — e verändert und 

 das Resultat mit Dem, woraus es entstand, summirt werden soll: 



152. 2F(x+k)=-S^^Fx+(k—e)X+,/(x,k)+ef(x,k). 



C. Man setze in (152) von Neuem x -i- e statt x und k — e statt k, 

 so ergiebt sich 



153. 2F(x+k) = 'X^,F(x+e) + {k — 2e)X^,f(x+e,k — e) + ef(x+e,k—e). 



Nimmt man wieder die Summe von (152 und 153), so ergiebt sich, 

 nach dem Sinne des Zeichens S+, : 



154. 2^F(x-i-k)=Xl,Fx + (k — 2e)XlJix,k) + 2eX^f(x,k). 



D. Setzt man abermals in (154) x + e statt x und k — e statt k, so 

 erhält man : 



155. 2' F(x+k)z=-Zl F(x+k) + ik-3e)Xl/ix+e,k-e)-h2c-Z^,/(x+e,k-e), 



und wenn man die Summe von (154 und 155) nimmt, 



156. 2'F(x+x) = Xl,Fx+{k — 3e):S,l,f{x,k)-i-.ie-2,U(x,k). 



E. So weiter fortfahrend, erhält man zusammengenommen: 



