34 



C KELLE. Eine Anwendung der Facultätentheorie 



VII. Entwickelung allgemeiner Gleichungen 

 zwischen den Gliedern einer Reihe und ihren wiederholten Summen. 



16. 



Ganz auf dieselbe Weise wie in (II.) der Ausdruck von ^^^Foc aus der 

 allgemeinen Taylorschen Differenzenreihe gefunden wurde, liefse sich 

 auch ein A.usdruck von 2^ ji^o: aus den Summen- Ausdrücken von (VI.) 

 entnehmen. Aber man kann S^^i^x auch wie folgt aus ^]^^Fcc selbst nehmen. 



Nach dem Sinne der Zeichen A und S ist nemlich : 



165. •{ 



■£^^,Fjc =F{x+e) —Fcc, 

 ^IFcc = A^, F(^-j-e) - A^^For, 

 AlFcc =AlF{x+e)-AlFx, 

 a:,Fx =AlF(a:+e) -A%Foc, 



u. 166. 



C^+cFx =F{x+e) +Fx, 

 ^%Fx=:$^,F{x+e) +-^^,Fx, 

 %l Fx = ^l F(x+e) +%l . Fx, 

 ^l Fx = ^l F(x+e) +XUFx, 



\AlFx=AlZ'F{x+e)-Alz'Fx- {SlFx=^lz' F(x-i-e)+^lz' Fx. 



Hieraus folgt, dafs man die Gleichungen (166) blofs dadurch aus den 

 Gleichungen (165) ei-hält, wenn man in letzteren überall 5 statt A und + 

 statt — schreibt. Da nun der Ausdruck von A'^^Fx aus der Substitution 

 Dessen hervorgeht, was die der letzten in (165) vorhergehenden Gleichungen 

 ergeben und das Gleiche mit 'S,!^.eFx in (164) der Fall ist, so mufs sich der 

 Ausdruck von ^^^Fx unmittelbar aus demjenigen (105) von A^^Fx ergeben, 

 wenn man in diesem blofs 2 statt A und überall + statt — setzt. Es ist da- 

 her zufolge (105), die Reihe umgekehrt geschrieben, nothwendig: 



167. :^l,Fx=Fx+X, F{x-\-e)-hK„F{x-\-2e)-t-K, F(x+3e) 



-t-Ä^_,F{x+{\-i)e)-i-F(x+}.e). 



17. 



Ausdrücke zwischen den wiederholten Summen einer Reihe finden 

 sich wie folgt. 



A. Ist in (163) k eine ganze positive Zahl jw, so ist daselbst von 

 F{x—ke) der Factor = (i — 2)""= (— 1)~"= (— i)", also nach (164) : 

 168. {-iyF(x-iJLe)=Fx+iJL,^^,Fx+ (^+1)^2^ ^^ + (w+s), ^l Fx 



-i-(lJi+z),:^UFx ; 



wo die Reihe rechts ohne Ende fortläuft. 



