und der allgemeinen Taylorschen Reihe auf die Binomial-Coefficienten. 35 



B. Setzt man nun in (168) der Reihe nach ju = o, i, 2, 3, 4 A, 



so ergiebt sich: 



f +Fx ==Fx 



-F(jc-c) =Fcc +i,2^F^ +hKeFx +3,Xl,F^^.... 



....-i-T^XleFx 



+F(x-2e) =Fcc +2,-X^Fx -i-i,^lFx +\^%l^Fx.... 



....+(t+i),S:.Fj: 



—F{x—ie) =Fjc +3,2^,Fa: +/.,2',Fa7 •^s^S.l^Fx.... 



169. 



..+{T+2),%1,FX. 



[(-i)^-'F(x-(A-i)e)=Fr+(X-i),2^Fa7 +A,S:,Fa:+(A+i)32^,Fa:.... 



....+(t+A-2),S;,F^ 



(-1)' F{x-}.e) =tFx +X,:^^,Fx+{?.+i),XleFx+(X+2)^^lFx.... 



....+(t+X-i),X.Fx 



C. Die Zahlen -Coefficienten von S^^Fo:, %l^Fx, "2,1^ Fx rech- 



terhand in diesen Gleichungen sind denen von A^^Fx, A^^Fx, A^^Fx 



in (123) vollkommen gleich. Also folgt auch, wie dort in (§ 13.), dafs, wenn 

 man, wie daselbst geschehen, die Gleichungen der Reihe nach mit ( — i)°^o> 



( — i)'A,, ( — 1)''^2 ( — ~'^>.-i "o*^ ( — ^y^t. niultiplicirt und die Summe 



der Producte nimmt, die Summen aller senkrecht unter einander stehenden 

 Glieder, bis zu denjenigen, welche ^^^Fx enthalten, Null sind, und dafs über- 

 haupt die Summe der senkrecht unter einander stehenden Producte nach 

 (129) durch 



170. (_i)-S:,Fa:.(T-i),_,=(-i)'2;.Fa^.(r-i),_, 



ausgedrückt wird; nemlich weil hier der Factor ( — i)"^ in (126 und 129) nicht 

 Statt findet, indem alle Glieder rechts in (169) positiv sind. Dieses giebt 



Null für T=:o, 1, 2, 3 X—i. FürT:^A-t-i, A + 2, A + 3 aber 



giebt es 



{-lyxiFx, (_i)'2;t'Fa:.A,, (-i)Xt'^-^^(>^+i).(-0X:'^-^(^+2)3"-. 



D. Daher erhält man denn aus den Gleichungen (169), wenn man 

 damit nach (C) verfährt : 



171. Fa:+A,F(j:— g) + A2F(a7— 2e) + A3F(j:— 3e) 



. . . .+A,_ , F(a:-(A-i )e)+F(a:-Ae) 

 = (-1)' p:, Fr+A,S::'Fa:-i-(A+i),2:r Fa:+(A+2)3S::'Fr. . . .] 



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