36 Grelle. Eine Anwendung der Facultätentheorie 



E. Schreibt man in (171) — e statt + e, so geht die Reihe links ia 

 diejenige (167) rechts über und ist folglich ='^'^^Fa:. Mithin ist 



172. %l Fx=(-iy[%l Fa:+X,2lt'Fa:+(A+i),S;t^Fa:+(A+2)3S!rFa;...]. 

 Dieses ist ein Ausdruck zwischen den wiederholten Summen der Glie- 

 der der Reihe Fx, F{x—e), F{x—2e) F(x+e), F{x+2e), F{x-k-ie) etc. 



F. Da zufolge (§ 15. G.) 



173. ^l_^/Fx = %l*;F{x—{X+T)e) 

 ist, so giebt (172) auch, wenn man in (173) der Reihe nach t=o, i, 2, 3, 4... 



setzt 



174. :^lFx=.(:-iy[^lF(x-}^e)+K,^irFioc-(K+i)e) 



+(X+x),-^1^;F{x- (A+2) e) + {K+2),-S,l-;F{x- (A+3)e)....]; 



welches ebenfalls ein Ausdruck zwischen den Gliedern der Reihe Fx, 

 F{x-\-e), F{x-\-2e) F{x~e), F{x—2e), F(x—^e) ist. 



VIII. Anwendung der allgemeinen Gleichungen zwischen den 



Gliedern einer Reihe und ihren wiederholten Summen (VI. u, VII.) 



auf die Binomial-Coefficienten. 



18. 



A. Man setze 



175. x^z, Fx=.n^z=zn^ unde = i, 

 so ist zufolge (38), wenn man daselbst e + i statt fx setzt, 



176. «,+",+, = (« + !),+,; 

 also ist, da hier '%_^^Fx■^'^^^n^ ist und n^+n^^^ bedeutet, 



S+.Fo; =(71+1),^, , folglich 



S',Fa7=S^,(n+i),^,=(n+2),+,, 

 177. { S:,Fa;=S,,(n+2),^,=(n-|-3),,3, 



X.Fx =(n+A),^,. 



B. Setzt man Dies z. B. in (159) und daselbst A statt fx, so ergiebt 

 sich, weil hier iP(a;+A-e) = 7ij^t ist, 



178. n,^,[i-2lc, + 2'k,-2lc, (-i)^27cj 



= 7Z, — Ä-,(n+i),^,+7c,(n-»-2),^2-/:3("H-3).^3----+(— i)'^x(«+^)^+x 



+ (-i)U-,(7.-A)S:,/(a). 



