und der allgemeinen Taylor sehen Reihe auf die Binomiäl-Coefficienten. 37 



C. Setzt man hierin e+Ä:=ju, also auch für h die ganze positive 

 Zahl \x — e, so ist, wenn man die Reihen in (178) bis zu A=ju — s fortsetzt, 

 von Wj^^ oder von n^ der Factor =(i — 2)''~"=( — 1)"~'; desgleichen ist der Factor 

 li. — A in dem Rest rechts alsdann =(jw — e — (ju — £))=:o, so dafs der Rest weg- 

 fällt. Also reducirt sich dann der Ausdruck (178) auf 



179. (— i)"-^n^=72, — (fx-£),(n+i),^.4-(/^-s)2(n+2),^2 



+(— 0""'"'(^'-0^-.-.(«+M-^— 1)^-.+(— O^'^C^+z^— ^).» 



oder auch, wenn man mit ( — i)""' multiplicirt , e statt \x — £ setzt und die 

 Reihe rechts rückwärts schreibt, auf 



180. n=.{n-\-t)^—{ti-\-z—\)^_^z^-\-{n-\-z—2)^_^z^ 



H-(-0'~'(«+').-.+.e.-,+(-i)'»^-.- 



D. Ist in (178) Ar, oder u — e negativ, also £>/^, so fällt der Rest 

 rechterhand für kein A weg. Der Ausdruck (178) giebt also dann n.^^ oder 

 n^ durch keine endliche Zahl von Gliedern. 



Ä Setzt man in (180) 7i negativ, so kommt man nach den gehöri- 

 gen Verwandlungen auf den Ausdruck (65); der sich also hier auf einem an- 

 deren Wege findet. 



F. Aus (175 und 177) folgt: 



Foc := n^, 



§,.F(a:-i) = (7i-n)„ 

 ^l,F(cc-i) = {n+2),, 

 2;,F(a'-3) = (n-f-3),, 



181. 



.s;.F(x-A)=(«-»-A),. 



Setzt man Dies in (162) und A statt \x, so ergiebt sich 



182. n,_,[i-27c,-^2'Ä:,-2U-3 +(_i)'2'^J 



= n, — /t,(«-H).-*-A%(«-t-2),— /v3(n-t-3), + (_i)7c,(n+A), 



....+(-i)7^.(A-_A)2:,/(£,-A-). 

 G. Setzt man in (182) k=.z — ju und A=A-, so ist wieder der Factor 

 zu «,_iOder n^ gleich (— i)'"" und die Reihe rechts bricht mit dem Gliede 

 (— 1)'~"(£— f-t)£_^(n-l-£— ,u). ab. Sie giebt also dann: 



183. (— i)'~"n^=7j^— (£— pi), (n-f-]),+(£— ju)2(n-^2)^ 



+ (— 0'~"~'0-M)£-._,(«+£— M— 1).+(— 0'""(«+^-^)e> 



