und der allgemeinen Taylorschen Reihe auf die Binomial-Coeffidenten. 39 



wo auch nach der Bedingung für (188) )w>£ und nach der gegenwärtigen Be- 

 dingung |U>v', also 2ju>v + e sein mufs. Schreibt man in (193) v statt v + s, 

 also f — E statt V, so ergiebt sich: 



oder nach (43) : 



194. v=s^_^+E^,_^_,{v-t),+E^_^_^{v-t)^ + e^_, (,_£)^_^^,+(,_£)_^. 



N. Die allgemeinen Ausdrücke (172 und 174), auf die Binomial- 

 Coefficienten angewendet, geben nur mehr ohne Ende fortlaufende Reihen. 



IX. Ein allgemeiner Ausdruck für die Binomial-CoefBcienten, 

 der aus dem binomischen Lehrsatze folgt. 



19. 



12 3 4 e 



A. Es seien n, n, n, n n beliebige Zahlen, und ihre Summe sei 



«234 £ 



195. n+n+n+n n=zn. 



Nun ist nach dem binomischen Lehrsatze 



196. {l+cc)"=l+J^^JC+n„x''+nJX^ 



Desgleichen ist, der Eigenschaft der Potenzen zufolge, für (195): 



12 3 £ 



197. (i+jcy=(i+xy (i+x)" (i+x)" (i+x)". 



12 3 £ 



Setzt man in (197) der Reihe nach n==.n, n, n n, so ergiebt sich aus 



(196) die Gleichung: 



198. i+Ji,x+n2x''-i-n^x^+ n^x" = (i+n^x+n^x^+n^x^+n^x" ) 



2 2 2 2 



X {i+n,x+n^x'+n3X^+n^x'' ) 



3 3 3 3 



X (i+UiX+n^x^+n^x^+n^x" ) 



4 4 4 4 



X (i+nfX+n^x^+n^x^+n^x" ) 



X {i+n,x+n2x''+n^x^+n^x'^ ) 



B. Werden hier die Factoren rechts in (198) mit einander multiplicirt, 

 so ergiebt sich eine Reihe, die, gleich der Reihe links in (198), alle die Po- 

 tenzen von X mit den Exponenten o, i, 2, 3, 4 enthält. Der Coefficient 



zu einem beliebigen Gliede der Reihe rechts aber, z. B. zu dem Gliede mit 



