40 C R EL L E . Eine Anwendung der Facultätentheorie 



x", wird die Summe aller der Producte der Binomial-Coefficienten mit den 



Exponenten n, n, n n sein, deren Zeiger zusammen ju ausmachen; 



und da nun dieser Coefficient dem Coefficienten n,^ zu oc" links in (198) 

 gleich sein mufs, so folgt, dafs n^ durch 



12 3 4 c 



198,. n^='^(nf.n2.n^ .n^ n.) 



ausgedrückt werden kann, wo die Bedingung ist, dafs 



12 3 4 £ 



199. /x+/^+/x+f^ +f/=fx 



1 2 3 £ _ 



sei, wenn man durch fj., fx, fx jw die verschiedenen Zeiger derjenigen Bi- 



1 1 3 £ 



nomial- Coefficienten mit den Exponenten n, n, n ti bezeichnet, die in 



dem Gliede mit o^" vorkommen können. 



C. Ist z. B. E = 3, jU = 5, so kann in (199) sein : 

 1 



JU = 005 001 414 002 323 113 122 



2 



2QQ \ IX = S l4 04l 230 032 131 212 



3 



|M = 500 4l4 100 323 200 311 221 



und also ist nach (198) : 



12 3 



201. n5=re5+raj+Wj 



23 23 13 13 12 12 



-\^n^n^+n^n^+n^n^+nJ^^-\-n^n^+nJl^ 



23 23 13 13 12 12 



+n^n^+n^n^+n2n^+n3n^+n.^n^+n^n„ 



123 121 123 123 123 123 



-\-n^n^n^•+■n^n^n^•\-n^n^n^^\^n^n2n^+n^n^n2+nJl^n^ 



1 2 3 £ I Tl T 



wo n, n, n n willkürliche Zahlen sind; nur unter der Bedingung (195), 



12 3 £ 



dafs 71+n+n + n=n sei. 



D. Für den Fall von 



12 3 £ 



202. n^n = n = /i, 



1 2' 3 £ 



also, wenn man n statt n:=n = 7i :=n schreibt, en statt n gesetzt wer- 

 den mufs, giebt(198): 



203. (en)^:=^(«, .n^.n^. n^ ??,); 



stets unter der Bedingung (199). 



E. In dem Beispiel (C.) wäre 



{in)^=3.n^-{-Gn^n^•^GnJl^+in^n^n^'\-^n^n^n^ oder 

 204. {in)^=i[n^+2n^n^-\-2n^n^+n\n^+n^nl']. 



