Einige Bemerkungen über die Anwendung der 

 Polynome in der Theorie der Zahlen. 



Hrn. GRELLE. 



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[Gelesen in der Sitzung der physicallsch - mathematischen Classe der 

 Akademie der Wissenschaften am 12. Juni 1843.] 



1. 



in Polynom 



1. 



drückt unzählige ganze Zahlen aus, wenn die Coefficienten a bestimmte 

 ganze Zahlen sind und x eine beliebige ganze Zahl ist. 



So wie nun eine ganze Zahl durch andere kleinere ganze Zahlen 

 theilbar sein kann, oder nicht, so kann auch ein Polynom für jeden 

 beliebigen Werth von x mit andern Polynomen von niedrigerem Grade 

 entweder aufgehen, oder nicht ; diese Polynome von niedrigeren Graden kön- 

 nen wieder mit andern Polynomen von noch niedrigeren Graden aufgehen, 

 u. s. w., bis zum Binom vom ersten Grade hinunter. Ein Binom aber 

 vom ersten Grade, z. B. x — a, kann nicht weiter mit einem andern Poly- 

 nom und selbst nicht mit einem andern Binom x — b vom ersten Grade für 

 jeden beliebigen Werth von a; aufgehen. 



Wenn man also überhaupt Polynome mit ganzen Zahlen vergleichen 

 will, so werden Binome vom ersten Grade mit den absoluten Primzahlen 

 verglichen werden müssen, und Polynome, die mit andern kein Polynom 

 oder Binom zum gemeinschaftlichen Theiler haben, mit den relati- 

 ven Primzahlen. 



Auch das Wachsen und Abnehmen der ganzen Zahlen findet bei Po- 

 lynomen Statt; aber nicht um Einheiten, wenn x um Einheiten wächst oder 

 abnimmt, sondern der sich verändernde Werth eines Polynoms wie (1), vom 

 Grade n, bildet die Glieder einer arithmetischen Reihe 72'" Ordnung, die mit 

 X zugleich, in so fern x positiv ist und alle a positiv sind, wachsen und 

 PhysiL-math. Kl. 1843. G 



