der Polynome in der Theorie der Zahlen. 51 



2. (p^x={x — e^)(p^_^x+r^. 

 Dividirt man weiter den Quotienten (p„_tX durch ein anderes Binom 

 X — e^, so wird ebenso, wenn der Rest durch r„ bezeichnet wird, 



und folglich nach (2): 



(l)^x=(x — c,)[(x— e2)^„_2'^+^2]-t-^i> oder: 

 4. (j}^x=i(x—e,)(x — e2)^„_2j;+(a;— e,);*2+r, 



sein, wo der Quotient <p„_2^ wiederum nothwendig a„ zum Coefficienten 

 seiner höchsten Potenz von x hat und r^ eine Constante ist. 



Dividirt man den Quotienten (p„_2X durch ein drittes Binom x — e,, so 

 erhält man : 



und folglich nach (4) : 



6. (p^x=z(x—e,)ix—e2){x—e^)(p„_^x+(x—e^)ix—e^)r^ + ix—e^)r^-\-r,; 



Auch hier hat der Quotient (p„_ix nothwendig «„ zum Coefficienten seiner 

 höchsten Potenz von x, und 7-3 ist eine Constante. 



So läfst sich weiter fortfahren, bis zu dem Quotienten <p,a;; aber nicht 

 weiter ; denn dieser Quotient giebt : 



7. (p^x=(x—eJ(paX+r^, 



wo (p^x eine Constante und zwar der Coefficient a„ selbst ist. Man er- 

 hält also zuletzt : 



8. (p^x={x—e^){x—e2){x—e^)....{x—e„)ci^ 



+ {x~e^)(x—e„){x — e^)...,[x— e„_„)r„_i 



+ {x—e,){x—e;)r^ 

 + {x—e,)r^ 

 + r,. 

 Ist nun z. B. e^ einer der ganzen positiven Werthe von x<p, für 

 welchen (p^x mit der Primzahl p aufgeht, so folgt aus (8), wenn man darin 

 x=ze, setzt, 



9. (f)^e^=:r,, 



und folglich, weil (p^e, der Voraussetzung nach mit p aufgeht, 



10. r,=Np. 



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