der Polynome in der Theorie der Zahlen. 53 



aufgeht. Der erste Fall würde der sein, wenn nicht blofs a„ , der Coeffi- 

 cient des ersten Gliedes des Polynoms (1), sondern zugleich auch die Coef- 



ficienten «„_,, «„_„ «^ aller seiner übrigen Glieder mit ^ aufgehn. Denn 



stellt man sich die Factoren in den Gliedern rechterhand in (8) in einander 

 multiplicirtvor, so bekommen alle Potenzen vona; in dem entstehenden Po- 

 lynome Zahlen zu Coefficienten, die mit p aufgehen, weil, wie sich vorhin 

 fand, alle r eben so wohl als «„ durch p theilbar sein müssen, wenn cp^x für 

 x=:e^, e^, e^ e„_, mit^aufgehen soll; unddiese Coefficienten zu den ver- 

 schiedenen Potenzen von x sind jetzt die übrigen et in (1). Im Fall also a„ 



mit yo aufgeht, kann (p^x nur dann, aufser für o: = e,, e^, e.^ ^»-u auch 



noch für x=:e^ mit p aufgehen, wenn nicht blofs der Coefficient a„ des 

 ersten Gliedes des Polynoms (1), sondern auch zugleich die Coefficienten 

 aller seiner übrigen Glieder mit p theilbar sind. 



Ist dagegen a„ nicht durch p theilbar, so kann gleichwohl zufolge 

 (8) <p^x auch noch für x ■= e^<.p theilbar sein, also immer überhaupt für 

 die n ganzen positiven Werthe e^, e„, e^...e„ <.p von x: aber aufserdem nun 

 auch für keinen andern ganzen positiven Werth <.p mehr von x. Denn 

 wäre z. E. 6 ein solcher Werth, so müfste nach (18) 



19. (p^t={s—e^)iz—e;){z—e^)....{t—e„_^){z—e„)a^-\-¥,p=l<,p . 



sein; was nicht sein kann, da alle die Zahlen e,, e^, e^....e^ und b der Vor- 

 aussetzung nach <.p und folglich auch die absoluten Werthe der Differenzen 

 £ — e,, e — e.,, e — e,....e — e„ kleiner als p sind und mithin keiner dieser Facto- 

 ren in (19), ebensowenig wie«,, mit p aufgeht; mithin auch ihr Product nicht. 



Es folgt also, dafs das Polynom (1), wenn der Coefficient a,. seines 

 ersten Gliedes mit der Primzahl p nicht aufgeht, für n verschiedene ganz- 

 zahlige positive Werthe von x <p mit p aufgehen kann, aber nicht für 

 mehrere. 



Indessen kann das Polynom (1) aufserdem auch noch für n andere, 

 negative ganzzahhge Werthe von x, deren absolute Werthe <p sind, 

 mit p aufgehen: nemlich auch noch für die n Werthe e^—p, e„ — p, e^ — p... 

 '•'•e„ — p, die alle negativ sind, deren absolute Werthe aber alle von e^, e^, 

 e^....e^ verschieden sein können, und die zugleich alle <p sind. Denn 

 die Voraussetzung, dafs cp^x für x:=e,, e„, e^....e„ mit;? aufgehe, bedingt, 

 wie sich oben zeigte, die Gleichung (18), und diese wird auch für x■=e^ — p. 



