54 Grelle. Einige BemerTiungen über die Anwendung 



X =. e^ — p, ccz=e^ — p 07 = e„ — p erfüllt. Z, B. i\lvx■^c^ — p 



giebt sie : 



20. (p,X^—p)=p{p+e—e;){p+e,— €,{.... )p+e,—e„_,){p+e,—e^)ci^+-iüp; 



und dieser Gleichung zufolge ist allerdings (p„{e^ — p) durch p theilbar. 

 Vollständig also heifst der bekannte Satz wie folgt. 

 Ein Polynom 



21. <p^x=a^a:" + a^_^x"~*+a^_2x''~' +a, x+a^ 



vom Grade n kann, wenn der Coefficient «„ seines ersten Gliedes mit der 

 Primzahl/? nicht aufgeht, für 2n verschiedene ganzzahlige Werthe von cc, 

 die, ohne Rücksicht auf das Zeichen genommen, sämmtlich kleiner als p sind, 

 und zwar für n positive und für die n negativen Werthe von x, welche 

 von ersteren abgezogen p geben, mit p aufgehen; aber nicht für mehrere 

 ganzzahlige Werthe von x. 



Zum Beispiel das Polynom vom dritten Grade 

 22. x^+2x''+x—k 

 geht für die sechs verschiedenen Werthe +i, +3, +5, — lo, — 8 und — 6 

 von X mit der Primzahl p = n auf. 



Die obige Verwandlung eines Polynoms kann auch nützlich sein, um 

 die Anzahl der gauzzahligen Werthe von x zu finden, für welche das Poly- 

 nom mit einer nicht untheilbaren Zahl aufgeht. 



Nach dieser Abschweifung mögen nun einige Sätze von Polynomen 

 folgen, welche bekannten Sätzen aus der Zahlentheorie analog sind; und zwar 

 möge gestattet sein, von den einfachsten Sätzen anzufangen, um die Analo- 

 gie der Polynome und der Zahlen und das analytische Verhalten der erstem 

 um so näher vor Augen zu bekommen. 



Der Satz, dafs man, wenn man eine gegebene Zahl durch eine gege- 

 bene kleinere dividirt, darauf den Rest in die kleinere, den neuen Rest in den 

 vorigen Rest, und so ferner, zuletzt nothwendig auf den Rest o kommt, und 

 dafs der diesem letzten Rest zunächst vorhergehende Rest der gröfste ge- 

 meinschaftliche Theiler der beiden gegebenen Zahlen ist, gilt auch für Po- 

 lynome ; nur mit der Veränderung, dafs hier unter dem Rest Null ein Poly- 

 nom vom Grade Null, also eine Constante, und unter dem gröfsten ge- 



