<Zer Polynome in der Theorie der Zahlen. 55 



meinschaftlichen Theiler das Polynom von der höchsten Ordnung zu 

 verstehen ist, welches in den beiden Polynomen zugleich aufgeht; welches 

 der bekannte Satz ist, nach welchem man den gröfsten gemeinschaftlichen 

 Theiler zweier Polynome findet. Dafs der Beweis dieses Satzes ganz die 

 gleiche Form wie bei Zahlen habe, möge hier in Kurzem auseinandergesetzt 

 werden. 



Das Polynom von höherer Ordnung sei r;,, das von niedrigerer 

 Ordnung s,. Man setze : 



23. 



.-1 j 



Alle Buchstaben, auch die N, bezeichnen hier Polynome. Der erste Rest 

 7-, ist nothwendig wenigstens um 1 Grad niedriger als z^; der zweite 

 Rest r„ ist wenigstens um einen Grad niedriger als r,; der dritte 7-3 ist um 

 einen Grad niedriger als r„ u. s. w. Man wird also nothwendig zunächst 

 auf einen Rest r„_, kommen, der vom Grade Null, also eine Constante ist, 

 oder der kein x mehr enthält. 



Ist nun diese Constante r„_, nicht Null, so ist in der letzten Glei- 

 chung 7'„_2^Nr„_, +?•„ (23) N ein Polynom von gleichem Grade wie ?•,_,; 

 und dann ist r„ nothwendig Null. In jedem Falle also geht dann die Con- 

 stante r„_, in r„_2 auf, also vermöge der vorletzten Gleichung (23) auch in 

 7\_3, und da sie in r^_^ und r„_3 zugleich aufgeht, vermöge der vorvorletzten 

 Gleichung auch in r„_^ u. s. w. bis zu der ersten der Gleichungen (23) 

 hinauf: folglich in z^ und z^ zugleich. Sie ist also ein gemeinschaftli- 

 cher Theiler von z, und z^ und zwar der gröfste; das heifst: es giebt kein 

 Polynom von einer höhern als der Ordnung Null, die in z, und z^ zugleich 

 aufginge. Denn gäbe es ein solches Polynom, so müfste es vermöge der 

 ersten der Gleichungen (23) auch in r^ aufgehen, also in z„ und r, zu- 

 gleich; mithin zufolge der zweiten Gleichung (23) auch in r„, also in 7-, 

 und 7*2 zugleich; mithin zufolge der dritten Gleichung (23) auch in 7-, 



