56 Grelle. Einige Bemei-hungen über die Anwendung 



u. s. w., mithia zufolge der vorletzten Gleichung (23) auch in die Con- 

 stante r„_,; was nicht möglich ist. Dieses ist also der Fall, wo z^ und z^ 

 kein Polynom mit x zum gemeinschaftlichen Theiler haben. 



Ist dagegen schon die Constante r„_,, auf welche man durch die Di- 

 vision immer kommt, gleich Null, so reducirt sich die vorletzte Glei- 

 chung (23) auf 



24. r„_3=Nr„_„, 



und es folgt daraus, dafs das Polynom r„_„, von welchem Grade es auch 

 sein mag, in i\_^ aufgehen mufs. Es mufs also nunmehr vermöge der vor- 

 vorletzten Gleichung (23) auch nothwendig in /•„_, aufgehen, und so wieder 

 weiter bis zur ersten Gleichung hinauf: mithin in z^ und z^ zugleich. Es 

 ist also nothwendig von z^ und z^ ein gemeinschaftlicher Theiler, und 

 zwar der gröfste; das heifst: es geht kein Polynom von höherer Ordnung 

 als r„_2 in z^ und z„ zugleich auf. Denn wäre es der Fall, so müfste die- 

 ses höhere Polynom vermöge der ersten Gleichung (23) auch in /•, auf- 

 gehen, also in z^ und r, zugleich; mithin vermöge der zweiten Gleichung 

 (23) auch in r^ u. s. w.; zuletzt also auch, vermöge der vorletzten Glei- 

 chimg (23), die sich hier auf (24) reducirt hat, in i\_^ und /•„_2 zugleich; 

 was für r„_2 nicht möglich ist. 



Eben wie ferner ein echter Zahlenbruch keine ganze Zahl sein kann, 

 so kann auch ein Polynomenbruch, dessen Nenner von höherer Ordnung 

 ist, als der Zähler, kein ganzes Polynom sein. 



Denn wäre z. B. in 



25. - = o 



u ' 



u von höherer Ordnung als z, und q ein ganzes Polynom, also minde- 

 stens vom Grade Null, so müfste, da 



26. z^uq 



und uq ein Polynom wenigstens von demselben Grade ist wie u, das 

 Polynom z, welches von niedrigerem Grade als u vorausgesetzt wird, dem 

 Polynom uq von höherem Grade gleich sein; welches für jeden beliebi- 

 gen Werth von x nicht möglich ist. 



