der Polynome in der Theorie der Zahlen. 57. 



5. 



So wie ein Zablenbriich, dessen Zähler, wenn gleich gröfser als der 

 Nenner, keinen Theiler >i mit dem Nenner gemein hat, keiner ganzen 

 Zahl gleich sein kann, so kann auch kein Polynomen -Bi-uch, dessen Nenner 

 in den Zähler nicht aufgeht, einem ganzen Polynom gleich sein. 



Denn ist in dem Polynomenbruch — erstlich u von höherer Ordnung 

 als z, so kann nach (§ 4.) — kein ganzes Polynom sein. 



Ist z von höherer Ordnung als u, so erhält man, wenn man z mit u 

 dividirt, 



27. z = qu + r, 



wo der Quotient q ein ganzes Polynom und der Grad des Polynoms r we- 

 nigstens um 1 niedriger ist, als der Grad des Polynoms u. Dividirt man nun 

 die Gleichung (27) durch u, so erhält man : 



28. --r/=^. 



Wäre hier — ein ganzes Polynom, so wäre auch ~ — q ein solches, weil 

 es 9 ist. Also müfste — einem ganzen Polynom gleich sein. Dieses aber 

 ist nach (§ i.) nicht möglich, weil r von niedrigerem Grade ist, als u. 



Wenn ein Polynom z mit einem andern u keinen von x abhängigen 

 Theiler gemein hat, so hat auch das Product von z in irgend eine Con- 

 stante c mit u keinen solchen Theiler gemein. 



Denn hat ein Polynomenbruch im Zähler und Nenner einen x enthal- 

 tenden gleichen Factor, so lassen sich statt Zähler und Nenner andere Po- 

 lynome setzen , die um den Grad des gemeinschaftlichen Factors niedriger 

 sind. Ist es nicht der Fall, so geht dies nicht an. Hätten nun cz und u 

 einen von x abhängigen gemeinschaftlichen Factor, so müfste 



29. ^ = L. 



sein, wo y und p beide von niedrigerem Grade sind , als z und u. Aus 

 (29) folgt: 



30. - = ^:p. 



u c 



Physih.-math. Kl. 1843. H 



