33. 



der Polynome in der Theorie der Zahlen 

 und 



34. 



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giebt. 



Hätten nun wund das Product z^z^ der beiden gegebenen Polynome 

 z^ und z.^ ein Polynom von höherem Grade als Null, z. B. das Polynom v 

 zum gemeinschaftlichen Theiler, so miifste v zunächst vermöge der ersten 

 Gleichung (33) nothwendig auch in r^z^ aufgehen, folglich in SjC^ und r^Zg 

 zugleich, mithin zufolge der zvreiten Gleichung (33) auch in r^z^, folglich 

 in r^z^ und r^z^ zugleich, mithin zufolge der dritten Gleichung (33) auch 

 in TgS^ u. s. w.; zuletzt also auch in r^z^. Also hätten r^z.^ und u den von 

 X abhängigen Factor c gemein. Aber z., und u haben nach der Vorausse- 

 tzung keinen von x abhängigen Factor gemein. Deshalb aber haben auch 

 zufolge (§ 6.) r„22 und u keinen solchen gemeinschaftlichen Factor, denn ;■„ 

 ist eine Constante. Also findet ein von x abhängiger Factor c, der u und 

 dem Producte z^z^ gemein wäre, nicht Statt. 



Aus der ersten Gleichung (34) folgt, dafs wenn u und das Product 

 z^z^ einen von x abhängigen Factor c gemein hätten, dieser Factor auch in 

 0,^2 aufgehen müfste, folglich in uz^ und ^^z^ zugleich. Er müfste also 

 weiter vermöge der zweiten Gleichung (34) auch in ^^z^ aufgehen, folglich 

 in 0,^2 und o^z^ zugleich, mithin vermöge der dritten Gleichung (34) auch 

 in OjZj; u. s. w.; zuletzt also auch in ^„z^. Also hätten ^„z^ und u den von x 

 abhängigen Factor v gemein. Aber z^ und u haben nach der Voraussetzung 

 keinen solchen gemeinschaftlichen Factor, und also auch zufolge (§6.) ^„z^ 

 und u nicht; denn ^„ ist eine Constante. Also findet auch hier ein von x 

 abhängiger Factor r, der u und dem Product z^z, gemein wäre, nicht Statt. 



Daraus nun, dafs, wenn zwei Polynome z^ und z^ mit dem Polynom 

 u keinen von x abhängigen Factor gemein haben, auch ihr Product s.Zj und 

 u keinen solchen gemeinschaftlichen Factor haben kann, folgt weiter, dafs 

 das Gleiche auch für das Product dreier Polynome z^, z„ und ^3 Statt 



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