der Polynome in der Theorie der Zahlen. 61 



ähnliche Art wie der Satz für Zahlen beweisen. Statt auf die positiven 

 echten Reste kommt es hier blofs auf die Reste der Divisionen an; gleich- 

 viel ob sie positiv oder negativ sind. 



Man substituire nemlich die zweite Gleichung (37) in die erste, 

 so erhält man : 



40. z = q.^v^v^+r^i\-\-r^. 



In diese Gleichung substituire man die dritte Gleichung (37), so er- 



giebt sich : 



41. z = q^v,v^v,+r^i>,i'^+r^v,-\-r,. 



Fährt man so weiter fort, bis zur letzten Gleichung (37), so erhält man: 



42. z=r|^^?^V2V^...i\+r„v^l\v^...^\_^+r„_^v^v^^'^...v^_2...+r^v^^'\-\-r„^>^^^-r^, 



oder, da i'^v^v^ — v„=-u ist (35), 



43. =■—(|,.u+[r^v,^>^l'^....l\_^+r„_^v^v„^>^....v„_2....+r^^\^\■+■r^v,-\-r^]. 



Hier ist in dem ersten Gliede Dessen, was rechterhand in Klammern ge- 

 schlossen ist, r„ vermöge der letzten Gleichung (37) nothwendig wenigstens 

 um einen Grad niedriger als p„ : also ist das Glied r^v^v.^v^....v^_^ vrenig- 

 stens um einen Grad niedriger als v^v^l\....v^_^v^ oder u. Im zweiten Gliede 

 ist r„_, vermöge der vorletzten Gleichung (37) wenigstens um einen Grad 

 niedriger als ('„_,; also ist das Glied wenigstens um einen Grad niedriger als 

 VjV^Vs — ^'„_2t'„_,= -^ ? und folglich um so mehr von niedrigerem Grade als u. 

 Für das dritte Glied folgt auf ähnliche Weise, dafs es nothwendig wenigstens 

 um einen Grad niedriger ist als — " — , mithin um so mehr von niedrigerem 

 Grade als u. Ahnliches folgt für alle übrigen Glieder. Mithin ist die Summe 

 aller rechterhand in (43) in Klammern geschlossenen Glieder ein Polynom, 

 dessen Grad wenigstens um i kleiner ist, als der von u. 



Man bezeichne nun diese Summe durch o, so dafs in (43) 



44. z = q„u-\-^ 



ist. Es soll aber zufolge (36) auch z= Qu+R sein. Also mufs sein: 



45. q„u+^z=.Qu-\-R, 



so dafs ,^ ^ R—§ 



46. q„-Q=—^ 



ist. Hier sind 7„ und Q beides ganze Polynome, und q„ — Q ist folglich 

 auch ein ganzes Polynom. R und ^, also auch R — ^ sind ebenfalls ganze 



