62 Grelle. Einige Beniei'kungen über die Anwendung 



Polynome, -^ aber ist ein Bruch-Pol yiiom, denn 71 und ^ und folglich 

 il — sind wenigstens um einen Grad niedriger als u. Daher ist die Glei- 

 chung (46), die Statt finden mufs, nicht anders möglich, als dafs 



47. Q=7„und/l = ^ 

 ist; und das ist, was die Gleichungen (38 und 39) behaupten. 



Für Zahlen folgt die Gleichheit von Q und q„ und von K und ^ 

 daraus, dafs in (37) r„ höchstens p„ — i, r„_, höchstens p„_, — i, r,_2 

 höchstens ('„_2 — i sein kann u. s. w., so dafs aus (43) der höchste Werth 

 von ^ 



....+(('3— i)p,p^+(P2— O^.+t'i— 1 oder 



— v,v^v^...v„_^—v,v„v^...v„_^...—v^v^v^—v^v^—v,—\ oder 

 ^■=v^V2V^...v„ — 1 oder 



48. ^ = « — 1 

 ist. Der kleinste mögliche Werth von ^ dagegen ist Null. Er findet 

 Statt, wenn die sämmtlichen t in (37) Null sind. Da nun auch der gröfste 

 mögliche Werth von H in (36) u — 1 und der kleinste ebenfalls Null ist und 

 es immer nur einen positiven echten Rest giebt, so folgt, dafs ^=R und 

 folglich dann auch q„=Q sein mufs. 



9. 



Auch der Satz, dafs es für zwei ganze Zahlen, welche keinen Theiler 

 >i gemein haben, immer zwei andere, kleinere ganze Zahlen giebt, die, 

 wenn man die eine mit der ersten, die andere mit der zweiten gegebenen 

 Zahl multiplicirt und die Producte von einander abzieht, auf eine Zahl füh- 

 ren, die kleiner ist als die kleinste der beiden gegebenen, findet ganz ähnlich 

 auch für Polynome Statt. Nemlich wenn y ein Polynom in cc vom Grade 

 m, und z ein Polynom in x vom Grade n ist, so giebt es immer zwei Poly- 

 nome p und u von niedrigeren Graden als m und n, welche 



49. yi^ — zu-=w 

 geben, wo w ein Polynom in x von niedrigerem Grade als m und n ist. Auch 

 können die Polynome u und v durch Division ganz auf ähnliche Art gefun- 

 den werden, wie die beiden Multiplicatoren von y und z, wenn y und z 

 ganze Zahlen sind. 



