der Polynome in der Theorie der Zahlen. 63 



Es liefse sich dies, was den Grad der Polynome betrifft, schon zei- 

 gen, wenn man für u, pund (v Polynome mit unbestimmten Coefficienten 

 voraussetzte; auch liefsen sich die Polynome u, c und w auf diese Weise 

 finden; nemlich wie folgt. Man bezeichne nemlich die Grade der Poly- 

 nome u, V und w durch /^, v und A und bemerke sie, so wie die Grade m und 

 n der gegebenen Polynome _;y und z, über den Buchstaben, welche die Po- 

 lynome vorstellen, so dafs also die vorausgesetzte Gleichung (49) folgende ist: 



50. y.v — z.u = w. 

 Hier hat das Polynom p, da man der höchsten Potenz von x in ihm 

 den Coefficienten i geben kann, v unbestimmte Coefficienten; das Polynom 

 u hat auf gleiche Weise fx unbestimmte Coefficienten : hingegen das Polynom 

 H', in welchem der Coefficient der höchsten Potenz von x nicht mehr will- 

 kürlich ist, hat A + i unbestimmte Coefficienten. In allem sind also 



51. ju-t-v+A+i unbestimmte Coefficienten 



vorhanden, welche aus der Gleichung (50) gefunden werden müssen. Das 

 Product j*p aber hat m+v Glieder, welche unbestimmte Coefficienten ent- 

 halten und welche also zur Bestimmung der Coefficienten dienen, und das 

 Product zu hat n + fji solcher Glieder. Es mufs also entweder 



52. m + i'=/x+v-|-A-|-i oder 



53. n-i-iJ. = ix+v-{-X-i-i 



sein. Im ersten Falle darf ti-j-jh nicht gröfser als m-i-v, im andern Falle 

 7«-|-v nicht gröfser als n-4-|W sein. Aus (52) folgt 



54. (x=m, — 1 — A, 



welches anzeigt, dafs A nicht gröfser sein kann als m — i. Aber es kann 

 auch die Werthe o, i, 2, 3....m — i haben, und v mufs so angenommen wer- 

 den, dafs, wie gesagt, n+fj. nicht gröfser als Tn-j-f sei. Aus (53) folgt 



55. v^n — I — A, 



und daraus, dafs jetzt A nicht gröfser sein kann, als n — i. Es kann aber 

 wieder alle die Weithe o, i, 2, 3....n — i haben, und jx mufs nun so angenom- 

 men werden, dafs, wie gesagt, m+v nicht gröfser sei, als n-f-jw. 



Es giebt also immer ein Polynom w von niedrigerem Grade als m oder 

 n, welches, mit zwei andern Polynomen n und p zusammen der Gleichung 



