der Polynome in der Theorie der Zahlen. 65 



57. j=Toa7"'+T„ ,a7'"-'+To„.r'"-'+ro3a;"-'....+To.„, 



58. c = «oa,'"+;«o ,a;"~'+>€o 2a;""-^-^t(,3a'"~^...+Ko,, 



gesetzt wird, so kommt schon in den Gliedern des ersten Quotienten q^ und 

 des ersten Restes r, der erste Coefficient sc, von z bis zur Potenz k"~"*^ im 

 Nenner vor; denn es kann m — n+i mal dividirt werden, ebe der Rest um 

 einen Grad niedriger ist als der Divisor z, mit welchem Rest dann erst die 

 Division aufhört. Aber wäre auch Ko=i, so wäre doch der erste Coeffi- 

 cient des Restes r^ , mit welchem für die zweite Gleichung z zu dividiren ist, 

 nicht nothwendig i, und es kämen also wenigstens schon in q^ und in r^ 

 nothwendig Brüche vor; und dann so weiter in den folgenden Gleichungen 

 noch um so mehr. Und zwar käme, weil r^ nothwendig um einen Grad 

 niedriger ist als ;•,, in der zweiten Gleichung der erste Coefficient von /•, 

 nothwendig bis zur zweiten Potenz vor; in der dritten Gleichung der erste 

 Coefficient von r^ ebenfalls nothwendig bis zur zweiten Potenz; u. s. w. in 

 allen folgenden Gleichungen. 



Diese Brüche nun, welche für die Rechnung unbequem sind, werden 

 vermieden, wenn man nicht sowohl j- selbst mit z dividirt, sondern vielmehr 

 j-, multiplicirt mit der in + n — iten Potenz des ersten Coefficienten von s; 

 ferner nicht sowohl z mit t-,, sondern s, zuvor multiplicirt mit der zweiten 

 Potenz des ersten Coefficienten von/*, ; nicht sowohl ;•, mit ;•„, sondern /•,, zu- 

 vor multiplicirt mit der zweiten Potenz des ersten Coefficienten von r„,u.s.w. 



Statt der Gleichungen (56) stelle man daher, die ersten Coefficienten 



von z, /•,, r^, /'j jene von z wie oben durch a^, die andern der Reihe 



nach durch k,, y,^, k^. ...>(„ bezeichnend, folgende Gleichungen auf: 



j-=q 



\>i]Z 



\y-lr. 



= 73^3 +^4» 



f-3^ 



59. \y-lr^ =7 1^4 +'" 



.ir„_, = q,_,r„_^-\-r, 

 -2T„_^=q„_2r„_„+r, 

 ..r„_^=Q„_,r„_,+r, 



Phjsik. - maih. m. iSi3. 



