der Polyyiome in der Theorie der Zahlen. 79 



so dafs man ietzt noch die an — convergirenden Brüche -i Jl 'l und — 



' ^S^ ° 5 ' US ' 47 )01 



findet, die unter den obigen nicht mitbegriffen sind. Und da die n will- 

 kürlich sind, so lassen sich noch viele andere finden. 



13. 



Auch auf die Zerlegung algebraischer Brüche in einzelne 

 Brüche, von deren Nennern das Product dem Nenner des gegebenen Bruchs 

 gleich ist, lassen sich die Verwandlungen in (§ 10.) wie folgt anwenden. 



A. Es sei z. B. der Bruch — - , in welchem k ein Polynom von jc 

 bezeichnet, dessen Grad aber immer wenigstens um i niedriger angenommen 

 werden kann, als der Grad des Products jj's, weil sich, wenn der Grad von 

 k höher wäre, erst ein ungebrochener Theil durch Division absondern lassen 

 würde, in die beiden Brüche — und -^ zu zerlegen, so dafs man also 



1.30. A = Ji + Jl 



y~ y - 



setzt, wo u und c gesucht werden, die nothwendig von niedrigeren Graden 

 sein müssen als j und z. 



B. In den Gleichungen (67) mufs, wenn r eine Constante r, sein 

 soll, zufolge der Gleichungen (59) £ = 71 genommen werden, und dann ist 

 zufolge (67): 



131. 7-. = ±(jC„-:3M„). 



Dieses giebt, wenn man mit k multiplicirt und mit r„yz dividirt, 



132. ^ —-j-/^"" ^"- y 



C. Nun sind zwar u^ und p„ von niedrigeren Graden süsy und z, denn 

 M„ und i\ sind zufolge (79) nur von den Graden m — \ und «— i, während j 

 und z von den Graden m und n sind. Aber ku^ und kv^ können von höhe- 

 ren Graden als j und z sein; denn ä: ist nur von niedrigerem Grade als das 

 Product js {A), und kann also bis auf den Grad m + n—i steigen, so dafs 

 k^u^ und k^v„ bis auf die Grade 2m-{-n — 2 und ni+2n—z steigen können. 

 Man wird also 7i„«, durch j-, und /v„p„ durch z dividiren und mithin 



U und 



f ku =T r+ I 

 133. \ j ' "^ j. 



