der Polynome in der Theorie der Zahlen. 83 



denn q^ ist vom Grade m—n und r ist vom Grade n — i. Die Coefficienten 

 der vier Poljnome^, z, q^ und r^ sind bestimmt. 



B. Nun multiplicire man das Polynom y mit r, und dann noch mit 

 einem Polynom <p^ vom Grade y,^ mit unbestimmten Coefficienten: z da- 

 gegen mit einem Polynom (7,, ebenfalls mit unbestimmten Coefficienten 

 und von solchem Grade A, dafs der Grad des Products fir,y dem Grade 

 des Products q^z gleich ist, und setze 



148. <p, r, .y=q,z+r^: 



so mufs K + 7I — i+77t = A+72, also K = m + K — 1 sein. Dem Polynom*/), 

 kann mau willkürlich 1 zum Coefficienten seiner höchsten Potenz von o- ge- 

 ben; dann enthält dieses Polynom k unbestimmte Coefficienten; das* Poly- 

 nom q, dagegen enthält A+ 1^771+ »t dergleichen Coefficienten; mithinsind 

 zusammen 771+2« unbestimmte Coefficienten vorhanden. Die Producte 

 <p,r,y und q ,z aber haben jedes Tn-\-y. + n Glieder. Vergleicht man davon 

 die m + 2K ersten Glieder mit einander, um die 777 + 2k unbestimmten Coef- 

 ficienten von (p, und r/, zu finden, so bleiben noch 777-4-^+72 — 777 — 2j< = 77 — y. 

 Glieder übrig, und diese sind r„; und folglich ist r^ vom Grade n — k — 1. 

 Macht man nun das willkürliche k gleich 1, so ist A = 771, und r^ ist vom 

 Grade n — 2; folglich giebt dann (148) die Gleichung 



I n_l m m n n—2 



149. cp,. r .y^q,. z-t-r^. 



C. Man multiplicire von Neuem y mit r„ und dann noch mit einem 

 Polynom (p^ vom Grade k mit unbestimmten Coefficienten, z dagegen mit 

 einem Polynom q„ ebenfalls mit unbestimmten Coefficienten, von solchem 

 Grade A, dafs wieder der Grad des Products (p^^^y dem Grade des Products 

 q,z gleich sei, und setze 



n — 2 



150. </), .7-,.j- = 7,.c + 7-3. 



Hier ist Ä = 77Z+ K — 2. Dem Polynom ^.^ kann man wieder willkürlich 

 1 zum Coefficienten seiner höchsten Potenz von x geben. Alsdann enthält 

 solches y. unbestimmte Coefficienten; q„ hat deren A + i =777 + }« — 1, mithin 

 sind überhaupt m-\-2K — 1 unbestimmte Coefficienten vorhanden. Die Pro- 

 ducte <p..r„y und «7,2 haben jedes 777 + 7i + >j — 1 Glieder. Vergleicht man 



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