der Polynome in der Theorie der Zahlen. 85 







nach der vierten Gleichung (152) auch in r^ u. s. w. ; zuletzt in /•„, was 

 nicht sein kann. 



Aus gleichem Grunde können ^3, (p^...,(p^_^ mit z keinen von x ab- 

 hängigen Factor gemein haben. Also kann kein (p mit z einen von x ab- 

 hängigen Factor gemein haben. 



G. Ferner können r, und z keinen von cc abhängigen Factor gemein 

 haben. Denn wäre es so, so müfste derselbe zufolge der ersten Gleichung 

 (152) auch inj" aufgehen, folglich inj- und z zugleich; welches der Vor- 

 aussetzung entgegen ist. Sodann können r^ und z keinen von x abhängigen 

 Factor gemein haben ; denn sonst müfste derselbe zufolge der zweiten Glei- 

 chung (152) auch inj oder in r, oder in ^, aufgehen, und folglich müfsten 

 z und y oder z und r, oder z und ^, diesen Factor gemein haben. Das erste 

 ist nach der Voraussetzung nicht der Fall; das zweite findet, wie sich so eben 

 vorhin zeigte, nicht Statt; das dritte, wie sich in (F.) fand, ebenfalls nicht. 

 Aus gleichem Grunde können r^ und z keinen Factor gemein haben, u. s.w. 

 Also kann kein r mit z einen von cc abhängigen Factor gemein haben. 



H. Nun mufs aber zufolge der Gleichung (154) z nothwendig in 

 das Product linkerhand aufgehen. Mit keinem /• hat es einen Factor ge- 

 mein; also geht s in dem Factor r, r2r3....7'„_, nicht auf: folglich mufs es 

 in den andern Factor aufgehen, und also folgt aus (15 i): 



155. (j)>,</),<^3...."^„_,=Nz+7-„, 

 wo r eine Constante oder von x unabhängig ist. 



" DO 



Dieses ist der dem Fermatschen ähnliche Satz für Polynome. 

 Der Grad des Products linkerhand in (155) ist 



4 -/- i-t-n—t n.n—l / >t—i\ 



lob. mn+i-\-2-\-s...-\-n — iz=mn-\ — .n — i ^mn-^ = nlin-\ 1. 



15. 



Man kann in der Pveihe der Gleichungen (152) auch wieder für j 

 und z statt zweier Polynome zwei ganze Zahlen setzen, welche keinen 

 Theiler gemein haben. Die r werden dann in die Reihe der Zahlen gehö- 

 ren, die mit z keinen Theiler gemein haben; ganz aus demselben Grunde 

 wie oben; und die (p kann man ebenfalls aus der Reihe der zu z relativen 

 Primzahlen, und zwar so annehmen, dafs sie beliebige vorausbestimmte 



