Über 
die Bestimmung der mittleren Werthe in der 
Zahlentheorie. 
Von Ph 
H”- LEJEUNE DIRICHLET. 
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[Gelesen in der Akademie der Wissenschaften am 9. August 1849.] 
Ossteich die Funktionen, welche in der Theorie der Zahlen betrachtet 
werden, fast nie durch analytische Ausdrücke darstellbar sind und scheinbar 
ganz regellos fortschreiten, so tritt doch in den mittleren Werthen derselben 
eine um so gröfsere Gesetzmäfsigkeit hervor, je weiter man die Reihe der- 
selben verfolgt, d. h. es giebt bestimmte einfache Ausdrücke, welche den 
Fortgang der mittleren Werthe mit unaufhörlich wachsender Genauigkeit 
und gerade so darstellen, wie eine Curve sich dem Laufe einer andern immer 
näher anschliefst, deren Asymptote sie ist. Man findet namentlich gegen das 
Ende der öten Sektion der Disquisitiones arithmeticae mehrere höchst merk- 
würdige Ausdrücke dieser Art, welche sich auf die Theorie der quadrati- 
schen Formen beziehen. Da weder diese interessanten Resultate, welche 
dort nur beiläufig und ohne Begründung mitgetheilt werden, bisher bewie- 
g ähnlicher Fra- 
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gen bekannt sind, so habe ich mich schon vor mehreren Jahren mit der Auf- 
sen worden sind, noch überhaupt Methoden zur Behandlun 
suchung dazu geeigneter Mittel beschäftigt. Ich habe jedoch von meiner 
damaligen Arbeit aufser einigen neuen Resultaten nichts der Öffentlichkeit 
übergeben, da sich mir die Aussicht darbot, durch fortgesetzte Bemühungen 
die Behandlung solcher Probleme noch wesentlich zu vereinfachen und na- 
mentlich von der Integralrechnung unabhängig zu machen. Andere Unter- 
suchungen haben mich dann längere Zeit von diesem Gegenstande abgezogen. 
Nachdem ich denselben später wieder aufgenommen, habe ich mich über- 
zeugt, dafs man in vielen Fällen durch ganz elementare, auf eine höchst ein- 
fache Reihenumformung gegründete Betrachtungen zum asymptotischen Aus- 
