über die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie. 71 
Da jedoch der letzte Ausdruck für F’(n) schon mit einem Fehler der 
Ordnung n behaftet ist, so ist von der unendlichen Reihe nur das erste Glied 
beizubehalten und man sieht, dafs die Gleichung 
F(n)=nlogn 
nur bis auf einen Fehler erster Ordnung genau ist, für welchen Fehler sich 
übrigens leicht eine Grenze angeben lafst, die er nicht überschreiten kann. 
Ob die Funktion, die von der Ordnung n log n ist, in ihrem asymptotischen 
Ausdruck ein Glied der Ordnung 2 mit constantem Coöffieienten enthält oder 
mit andern Worten, ob — F(n) — logn sich für wachsende Werthe von n 
einer festen Grenze nähert, läfst sich auf diesem Wege nicht entscheiden. 
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Die schon erwähnte Umformung, mit welcher wir uns jetzt beschäfti- 
gen wollen, beruht auf der einfachen Bemerkung, dafs, während die Glieder 
der Reihe =) 1--- [2] 
1 2 2ER 
welche mit dem nten Gliede abbricht, anfangs sehr rasch abnehmen, von 
einer gewissen Stelle ab jedes Glied dem folgenden entweder gleich ist, oder 
dasselbe um eine Einheit übertrifft. Es wird dies offenbar der Fall sein, 
sobald der Unterschied : = =: wer: = ) 
Bruche gleich geworden ist. Bestimmt man also die kleinste ganze Zahl u, 
der Einheit oder einem ächten 
welche der Bedingung u (u + 1)2n entspricht, so wird die erwähnte Eigen- 
schaft spätestens vom unten Gliede incl. ab statt finden. Da es jedoch zu 
unserem Zwecke ganz unwesentlich ist, ob in die beabsichtigte Umformung 
ein Glied mehr oder weniger hineingezogen wird, so werden wir der grö- 
fseren Einfachheit wegen für u die ganze Zahl wählen, welche entweder der 
Wurzel Yn gleich, oder im Falle der Irrationalität derselben unmittelbar da- 
rüber liegt. Man hat also a3 n und folglich u(u-+1)>n. Setzt man nun 
n 
[1 =, 
wo, wie leicht zu sehen ist, v höchstens um 2 Einheiten von u verschieden 
sein kann und bezeichnet mit 2 irgend eine der Zahlen v, v—1,....2, 1, so 
läfst sich leicht der Zeiger s des vom Anfange entferntesten Gliedes =] be- 
stimmen, welchem der Werth z zukommt und auf welches daher ein Glied 
