über die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie. 75 
wo der Fehler für jedes n eine feste Grenze nicht überschreitet, so hat man 
mit einem Fehler der Ordnung Yn, 
3; (= _ I) =(1—- C)n. 
Da hiernach das arithmetische Mittel aus den Werthen der ar nn E -| 
welches= 1, 2,..., nm entsprechen, =ı — Cd.h.<-+ist, so läfst sich 
vermuthen, dafs, wenn man n der Reihe nach durch die genannten Zahlen 
” 
dividirt, der Fall öfter vorkommen wird, wo der Rest unter dem halben Di- 
visor liegt, als der entgegengesetzte, wo er demselben gleich ist oder ihn 
übertrifft. Wir wollen die Richtigkeit dieser Vermuthung zu prüfen und 
das Verhältnifs, nach welchem die Zahlen ı, 2,... n sich in dieser Beziehung 
in zwei Gruppen vertheilen, zu bestimmen suchen. Die Zahl s wird den 
ersten oder den zweiten Fall darbieten, je nachdem 
=-[* |<+ oder 3 
Da hiernach respective 
[-] Be) 4 —=0, oder E — [-] —4ist, 
Ss Ss Ss Ss 
so wird die Anzahl der in der zweiten Gruppe enthaltenen Zahlen durch den 
Ausdruck 
gegeben, dessen zweites Glied oben schon bestimmt worden ist. Zur Be- 
stimmung des ersten dient die Gleichung (a), in welcher n in 2n zu verwan- 
deln, undp=n, g=2, $(s)=1, Y(s)=s zu setzen ist. Man erhält so 
„1 2n 2n 2n 
= [7 ]= »-#»+=]7]+=&][2]- 
Da % die unmittelbar über Y(2n) liegende ganze Zahl und v= = ist, so ist 
Av von 2n nur um eine Gröfse der Ordnung Vn verschieden und die beiden 
ersten Glieder heben sich auf. Für die erste Summe erhält man immer mit 
Vernachläfsigung der Ordnung Yn, 
= l*] —ı, ala - =:ın (log +C)=n log en-+2Cn. 
Derselbe Werth würde auch für die zweite gelten, wenn nicht die beiden 
s= ı und 2 entsprechenden Glieder fehlten. Um $' = zu erhalten, hat 
K2 
