über die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie. 77 
bis auf einen Fehler der Ordnung nlogrn genau. Da nun andrerseits nach 
einer bekannten Formel 
ARE 1 1 
zv 
uam. —- —- + —elc. 
Tilge 6 Bari 
1 =: - 
d h.4n'3,z3=,n’—zn 
Ey 
bis auf die erste Ordnung exclusive, so erhält man schliefslich 
o .) 
Hin) = n? 
a: 
in welcher Gleichung der Fehler die Ordnung n log n nicht überschreitet. 
Bestimmt man mit Hülfe des eben gefundenen Ausdrucks den mittle- 
ren Werth von /(n), so findet man für diesen mittleren Werth 
—(Ya+)+...+f(n+9) 
den asymptotischen Ausdruck n* N 
I6. ’ 
vorausgesetzt dafs man sich das gleichzeitige Wachsen von s und n so denke, 
dafs dabei 
n 
— und 
Ry 
Ss 
log nn 
jede endliche Grenze überschreiten. Dieses Resultat hat jedoch, wie leicht 
zu sehen, eine wesentlich andere Bedeutung, als das am Ende von No. 3. 
gefundene. Während dort der Unterschied zwischen dem wahren mittleren 
Werth und seinem asymptotischen Ausdruck kleiner als jede gegebene Gröfse 
wurde, gilt dies hier nur von dem Verhältnifs dieses Unterschiedes zum wah- 
ren oder genäherten mittleren Werthe. 
6. 
In den bisher behandelten Aufgaben, zu denen andere auf ganz ähn- 
liche Weise zu lösende hinzuzufügen überflüssig scheint, hatte die näherungs- 
weise zu bestimmende Funktion unmittelbar die Form der Reihe (a). In 
andern Fällen wird diese Funktion durch eine Gleichung gegeben, welche 
eine solche Reihe enthält, in deren allgemeinem Gliede die zu bestimmende 
Funktion vorkommt, so dafs man also nur eine rekurirende Beziehung zwi- 
schen auf einander folgenden Werthen der Funktion kennt. Das einfachste 
