über die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie. 79 
Werth that, = (7 #4 —y [=-]) t, welcher Ausdruck verschwindet 
und richtig bleibt, wenn keine solche Glieder existiren, d.h. 11-1] 
wird. Vereinigt man die Werthe des Ausdrucks für = ı, 2,.. .n, und be- 
merkt, dafs für2=n das Glied ı[--] oftenbar auf Null zu reduciren ist, 
so erhält man 
:[|eo==v[?] (e) 
von welcher Umformung wir nun in unserer Aufgabe Gebrauch machen wol- 
len. Unsere obige Gleichung wird mit Hülfe derselben 
zy][®]=+r°++n 
Man übersieht bald, dafs der asymptotische Ausdruck für Y(n) die Form 
an” haben wird, wo « eine Constante ist. Man könnte diese Constante in 
dem folgenden Beweise zunächst unbestimmt lassen, wo sich dann im Laufe 
der Entwicklung der Werth «= e herausstellen würde. Da jedoch dieser 
Werth ebenfalls leicht vorherzusehen ist, so werden wir der Kürze wegen 
sogleich den Ausdruck -, n? betrachten. Wie auch die noch unbekannte 
Funktion / (n) beschaffen sein möge, so können wir allgemein setzen 
3 
Ym)= — n° +°%,(n) 
wo auch £ von n abhängt und die Funktion x, (n) beliebig und nur mit der Be- 
schränkung gewählt werden soll, dafs sie immer positiv bleibe, mit dem Argu- 
mente wachse und für den Werth n = ı desselben nicht verschwinde. Denkt 
man sich %, (n) auf die angegebene Weise gewählt, und dann in unsere Glei- 
chung für n alle Werthe von n= ı bis n—= N eingesetzt, so werden die ent- 
sprechenden Werthe von Ö alle endlich sein. Es sei nun A der gröfste der 
so für d erhaltenen numerischen Werthe. Dies vorausgesetzt, bringen wir 
unsere Gleichung in die Form 
Ym)=-=Y]”]|+3”" +4 
und betrachten nun die Werthe von n, welche zwischen n=N +1 und 
n 
n=2N liegen. Da in der Summe | — | die Grenze N nicht überschreitet, so 
Ss 
sieht man, dafs der Theil unserer Summe, welcher aus dem Einsetzen des 
