über die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie. 81 
Da nun % für ein wachsendes N beliebig klein werden kann, A nicht ab- 
nimmt, q aber constant bleibt, so ist für ein hinlänglich grofses N, A <A, 
d.h. das ursprünglich bis n= N geltende Maximum A gilt auch bis 2V, aus 
demselben Grunde aber auch bis 4IV, sV,..., oder ganz allgemein. 
Es ist also / (n) = er n* mit einem Fehler, der die Ordnung n° nicht 
überschreiten kann, wo die Constante ö den durch die Gleichung =7 5 —_ 
gegebenen Werth, wenn auch noch so wenig, übersteigt. Für den mittleren 
Werth von $(n) ergiebt sich hiernach der Ausdruck 
n 
Yo 
dessen Bedeutung aus Obigem klar ist. 
iM. 
Als letztes Beispiel wählen wir die Funktion # (n), welche die Anzahl 
aller möglichen Zerfällungen von r in zwei Faktoren ohne gemeinschaftlichen 
Theiler bezeichnet und bekanntlich die Potenz 2° zum Ausdruck hat, wenn 
man unter o die Anzahl der verschiedenen in 2 aufgehenden Primzahlen ver- 
steht. Setzt man wieder 8!#(s) = \/(n), so wird / (n) in einem einfachen 
Zusammenhang mit der in Art 1. und 3. behandelten Funktion F(n) stehen. 
F(n) drückt nämlich offenbar die Anzahl der Zahlenpaare x, y aus, welche 
der Bedingung xy <n genügen, während \ (n) die Anzahl der Paare der zu 
einander relativen Primzahlen £, y bezeichnet, für welche ebenfalls Ey < n. 
Theilt man nun die Paare x, y in Gruppen, deren ste diejenigen Paare x, y 
enthält, für welche s der gröfste gemeinschaftliche Theiler ist, so dafs also, 
wenn 2=£s, y=1s gesetzt wird, £ und y relative Primzahlen sind, und 
dividirt die Ungleichheit durch s’, so kommt Eu < = oder En< [| j:Da 
nun auch umgekehrt je zwei relative Primzahlen &£, y, welche dieser Bedin- 
gung entsprechen, durch Multiplikation mit s zwei Zahlen x, y mit dem 
gröfsten gemeinschaftlichen Theiler s ergeben, für welche vy <n, so folgt, 
dafs die Anzahl der in der sten Gruppe enthaltenen Paare durch N [:] aus- 
gedrückt wird. Man erhält so die Gleichung 
z+[3] =F(n)=nlogn+(2C—ı)n 
Math. Kl. 1849. L 
