100 Dikichlet: Vereinfachung der Theorie 



mit Ausnahme des letzten für den Fall wo die Entwicklung nicht zu Ende 

 geführt ist und wo dieses Glied als ein sogenannter vollständiger Quotient jeden 

 andern Werth haben kann. Von besonderer Wichtigkeit für arithmetische 

 Untersuchungen sind diejenigen Kettenbrüche, deren Glieder bis auf das 

 erste, für welches auch der Werth Null zulässig ist, positiv sind; durch einen 

 solchen Kettenbruch läfst sich eine positive Irrationalgröfse w nur auf eine 

 Weise ausdrücken, und wir wollen die Darstellung von w in dieser Form, 

 oder wenn w negativ ist, die Darstellung ihres absoluten Werthes mit vor- 

 gesetztem negativen Zeichen die normale Kettenbruch-Entwicklung von w 

 nennen. 



Wir haben nun zunächst die Aufgabe zu behandeln, aus einem Ket- 

 tenbruche wie 



w = (a, ß, . . . . , ju, v, p, q, r, . . . . , «, V, etc.) 



in welchem die Glieder erst von p incl. ab sämmtlich positiv sind, die nor- 

 male Entwicklung der Irrationalgröfse w abzuleiten. Es wird sich leicht zei- 

 gen lassen, dafs dies durch eine Reihe von Umformungen bewerkstelligt wer- 

 den kann, bei welchen die Glieder, die auf ein hinlänglich entferntes u fol- 

 gen, unberührt bleiben, und dafs die Anzahl der neuen Glieder, welche 

 schliefslich an die Stelle von a, ß, . . . . u getreten sind, von der Anzahl der 

 letzteren um eine gerade oder ungerade Zahl verschieden sein wird, je nach- 

 dem w positiv oder negativ ist. 



Um sich hiervon zu überzeugen, betrachte man zunächst den Fall wo 

 v nicht das erste Glied ist. Unter dieser Voraussetzung kann man (x, v und 

 einige der unmittelbar folgenden Glieder, während alle übrigen ungeändert 

 bleiben, durch neue Glieder ersetzen, deren Anzahl von der Anzahl jener 

 um eine gerade Zahl verschieden ist, und welche mit Ausnahme des ersten, 

 welches Null oder negativ sein kann, sämmtlich positiv sind, so dafs die Un- 

 regelmäfsigkeit in der gegebenen Entwicklung wenigstens um eine Stelle zu- 

 rücktritt. Bei dieser partiellen Umformung hat man zu unterscheiden ob v 

 Null ist, oder einen negativen Werth — n hat. Im ersteren Falle sind die 

 drei Glieder \x, o,p, durch das einzige Glied \x-\-pzu ersetzen, wogegen der 

 andere Fall in die drei Unterabtheilungen zerfällt 



n > 1 ; 71 = 1, ö > 1 ; n = i, p -.sst \\ 



