der binären quadratischen Formen von positiver Determinante. 101 



denen entsprechend eine der folgenden Gleichungen, welche sich leicht ve- 



rificiren lassen, in Anwendung zu bringen ist : 



{\x, —n,p,q, ) = (\x — 1, 1, n — 2, i, p — l, q, . . . ) («) 



(fx, — \,p,q ) = (,w — 2, I, p — 2,q,.. .) 



(fx, — l, i, q, r, s, . . .) = (fx — q — 2, l, r — l, s, . . .) 



Wie man sieht, beträgt die durch eine solche partielle Umformung 

 hervorgebrachte Änderung in der Gliederzahl resp. 2, o, — 2 Einheiten, und 

 es bedarf kaum der Erwähnung, dafs wenn eine der Differenzen n — 2, p — t, 

 p — 2, r — 1, die nach unseren Voraussetzungen nicht negativ werden können, 

 sich auf Null reducirt, für die Null und die beiden benachbarten positiven 

 Glieder ein einziges der Summe der letzteren gleiches Glied zu setzen ist. 



Durch wiederholte Anwendung desselben Verfahrens läfst es sich 

 bewirken, dafs alle Glieder, vom zweiten incl. ab, positiv werden. Ist dann 

 zugleich das erste nicht negativ, so ist die Operation geschlossen und das 

 Resultat dem oben Gesagten gemäfs, indem alle nach und nach in der Glie- 

 derzahl eingetretenen Änderungen durch gerade Zahlen ausgedrückt sind. 

 Hat hingegen das erste Glied einen negativen Werth — a, und folglich der 

 Kettenbruch die Form 



w = ( — a, b, c, d, . . .), 

 so hat man für denselben, ]e nachdem b > i oder b = l ist, 



cd = — (a — l, i,5 — l, c, . . .) oder w = — (a — l, c + l, d, . . .) 

 zu setzen, so dafs das Resultat wieder mit dem früher Rehaupteten über- 

 einstimmt. 



§• 2. 



I. Finden zwischen zwei Gröfsen w, Sl und den ganzen Zahlen a, ß, 

 y, &, deren erste nicht Null ist, die Relationen 



U = hrßä> aS-ßy= U 



(') Dafs sich die negativen Glieder aus einem Kettenbruche entfernen lassen, hat schon 

 Lagrange bemerkt (Mem. de l'Acad. de Berlin, annee 1768, pag. 152); aber die von ihm 

 zu diesem Zwecke gegebene Gleichung, welche mit der ersten der obigen zusammenfällt, 

 reicht nicht aus, da sie für den Fall n = 1, ein neues negatives Glied einführt. Will man 

 dieses durch abermalige Anwendung derselben Gleichung beseitigen, so wird man zu dem 

 ursprünglichen Kettenbruche zurückgeführt. 



