102 Dirichlet: Vereinfachung der Theorie 



Statt, so läfst sich immer eine Gleichung der Form 



u> = (A, m, . . . r, <x, £2) 

 bilden, in welcher von den ganzen Zahlen A, m, . . . r, <r nur die erste und 

 letzte Null oder negativ sein können, die Zwischenglieder aber, wenn sie 

 nicht ganz fehlen, positiv und in gerader Anzahl sind. 



Da man nach der Form der vorausgesetzten Gleichungen die Zeichen 

 von a, ß, y, (^gleichzeitig ändern kann, so darf a positiv angenommen werden. 

 Ist nun a = l, so hat man sogleich 



7 -h (ß y -*- l) & 



■ ßSl 



= (y,ß,a). 



Ist hingegen a> i, so verwandle man— auf die gewöhnliche Weise in 

 einen Kettenbruch, indem man alle Divisionsreste positiv wählt. Man er- 

 hält so den Kettenbruch 



^ — {Km, ... , r) 



in welchem nur A Null oder negativ sein kann, und die Anzahl der Glieder 



m, . . . r gerade vorausgesetzt werden kann, da sich das Glied r, für welches 



man zunächst einen Werth > i erhält, nöthigen Falles in (r — 1, i) auflösen 



läfst. Da die zu diesem Kettenbruche gehörigen Näherungsbriiche 



A y. m ■+- i <p y 



T' m ' " " " 7' ~' 



irreductibel sind und positive Nenner haben, so wird der letzte derselben, 

 wie im Werthe, so auch in der Form mit — zusammenfallen. Da ferner nach 

 einem bekannten Satze a cp — yf = i, so ergiebt die Vergleichung mit der 

 zwischen a, ß, y. $ Statt findenden Relation, 



ß = «er -\-f, «5 = y <r ■+■ c/>, 

 wo 0" eine ganze Zahl ist. Der Bruch g läfst sich also vermittelst des neuen 

 Gliedes <r der Reihe der Näherungsbrüche anschliefsen, und man hat 

 w = (A, ?n, . . . r, it, ü). 



II. Für das Folgende ist noch der besondere Fall näher zu betrach- 

 ten, wo a, ß, y, & sämmtlich positiv sind und zugleich die Bedingungen y ^ a, 

 S>y erfüllen. Wie leicht zu sehen , sind alsdann A und er positiv. Ist 



