der binären quadratischen Formen von positiver Determinante. 103 



a = i, so liegt dies schon in unserer Voraussetzung, da für diesen Fall A = y, 

 cr = /3. Ist dagegen «> i, so ist wenigstens sogleich klar, dafs A, welches 

 nach Obigem der unmittelbar unter — liegenden ganzen Zahl gleich ist, po- 

 sitiv sein wird. Dafs aber auch er positiv ist, erhellt wie folgt. Da A positiv 

 ist, so sind auch die Zähler der oben gebildeten Näherungsbrüche positiv und 

 bilden vom ersten incl. ab eine wachsende Reihe, so dafs also y>cp. Da nun 

 $ = 7 <r -+- (p, so wäre, wenn er = o angenommen würde, £=y, und wenn 

 man er negativ voraussetzte, £ ebenfalls negativ gegen unsere Annahme. 



Bezeichnen wir zu gröfserer Gleichförmigkeit die positiven Zahlen 

 A, er mit l, s, so ist also in unserem besonderen Falle 



— = (Z, m, . . . , r), -ß = (/, m, . . . , r, s), w = (/, m, . . . ,r, s, £1), 

 wo die Glieder l, m, . . . ,r, s sämmtlich positiv und in gerader Anzahl sind. 



§. 3. 



Indem wir jetzt zu dem eigentlichen Gegenstande dieser Abhandlung 

 übergehen, bemerken wir dafs alle quadratischen Formen 



ax 2 + ih xy ■+■ c y 2 = (a, b, c) 

 die hier zu betrachten sind, dieselbe positive Determinante D = b 2 — ac 

 haben, welche daher nicht weiter zu erwähnen sein wird. Die positive ganze 

 Zahl D ist beliebig bis auf die Beschränkung, dafs sie keinem Quadrate gleich 

 sein darf. Da hiernach die äufseren Coefficienten a, c immer von Null ver- 

 schieden sind, so erhellt dafs, sobald aufser D noch der mittlere und einer 

 der äufseren Coefficienten gegeben sind, auch der andere, und folglich die 

 Form selbst völlig bestimmt sein wird. 



Jeder Form (a, b, c) lassen wir eine aus denselben Coefficienten ge- 

 bildete Gleichung 



a-i-2bui + cui 2 = o 

 entsprechen, deren Wurzeln 



-b T V3 



ui = — 



c 



immer auf dieselbe Weise wie es hier geschieht, nämlich so dargestellt wer- 

 den sollen, dafs der unveränderte dritte Coefficient c den Nenner bildet. 

 Unter dieser Voraussetzung können die beiden Werthe von w, dem oberen 



