104 Dirichlet: Vereinfachung der Theorie 



und unteren Zeichen entsprechend, als die erste und zweite der zur Form 

 (a, b, c) gehörigen Wurzeln unterschieden werden. Wie leicht zu sehen, ist 

 eine Form durch ihre Determinante und eine der zu ihr gehörigen Wur- 

 zeln völlig bestimmt. Gehört nämlich derselbe Werth zu beiden Formen 

 (a,b,c), (A,B,C) als erste Wurzel oder zu beiden als zweite, so hat man 

 die Gleichung 



— ö+Vd _ — b + VIT 



■ c ~~C ' 



in welcher entweder die oberen oder die unteren Zeichen gelten, und aus 

 der wegen der Irrationalität von YD sogleich B = b, C = c, d. h. die Iden- 

 tität der beiden Formen folgt. 



Wenn im Folgenden zwei Formen 



(1) aoc 2 -\- 2bxy-h cy 2 , A X 2 -t- 2 B X Y -t- C Y 2 

 äquivalent genannt werden, so ist darunter immer die eigentliche Äquivalenz 

 zu verstehen, so dafs also dieser Ausdruck die Existenz einer Substitution 



(2) cc = aX+ßY, y = yX+*Y, (**) 

 einschliefst, deren Coefficienten die Bedingung 



(3) a & — ß y = 1 



erfüllen und durch welche die erste Form in die zweite übergeht. Aus jeder 

 solchen Substitution folgt dann durch Auflösung der Gleichung (2) nach X 

 und Y, eine ähnliche, welche die zweite Form in die erste verwandelt. 



In gewissen singulären Fällen giebt es bekanntlich aufser den eben be- 

 sprochenen Substitutionen andere, durch welche äquivalente Formen in ein- 

 ander übergehen und die statt der Bedingung (3) die entgegengesetzte ab — ßy 

 = — 1 erfüllen. Wir bemei'ken hier ausdrücklich, dafs Substitutionen die- 

 ser letzteren Art im Folgenden überall auszuschliefsen sind. 



Nach diesen vorläufigen Feststellungen ist es nun leicht die folgenden 

 Sätze zu beweisen. 



I. „Zwischen den gleichnamigen zu den äquivalenten Formen (1) ge- 

 hörigen Wurzeln w und £2, und den Coefficienten der Substitution (2) besteht 

 immer die Gleichung: 



y •+■ il 



( 4 ) w = ^^ßä • 



