der binären quadratischen Formen von positiver Determinante. 105 



Bringt man die zu beweisende Gleichung in die Form V. = -g — jj-t. , 

 setzt für u) seinen Werth und befreit den Nenner von der Irrationalität, so 

 wird die zweite Seite mit Berücksichtigung der Gleichungen a & — ß y = i, 

 D = b 2 — a c, 



— M+ V~D 

 N 



wo M=aaß + b(a$-t-ßy)-i-cy$, N = a ß 2 + 2 1> ß § -\- c <$ 2 gesetzt 

 ist. Da nun die Ausdrücke M und N mit denjenigen zusammenfallen, welche 

 man für B und C erhält, wenn man die Substitution (2) auf die erste der 

 Formen (1) anwendet, so ist die Behauptung bewiesen. 



II. „Findet die Gleichung (4) für ein Paar gleichnamiger zu den 

 Formen (1) gehöriger Wurzeln w und P. Statt und erfüllen zugleich die gan- 

 zen Zahlen a, ß, y, $ die Bedingung (3), so sind die Formen äquivalent und 

 die erste geht durch die Substitution (2) in die zweite über". 



In Folge der Voraussetzung hat man ohne neue Rechnung 



— B + V~D _ - M + V~D 



~~ C ~ N 



wo entweder die oberen oder die unteren Zeichen gelten. Es ist folglich 

 ß = Ü7, C = N, d. h. die Form, in welche (a, b, c) durch die Substitution 

 (2) übergeht, fällt mit der Form (A, B, C) zusammen. 



Es versteht sich übrigens von selbst, dafs die Gleichung (4), sobald sie 

 für ein Wurzelpaar gültig ist, auch für das andere Statt findet. 



III. Es werden später häufig sogenannte benachbarte Formen, d. h. 

 Formen zu betrachten sein, die sich wie 



(a, b, a), (a , b ' , a") 

 so an einander schliefsen, dafs der letzte Coefficient der ersten mit dem ersten 

 der zweiten zusammenfällt und deren mittlere Coefficienten b, b' zugleich die 

 Bedingung b + b = o, (mod. a) erfüllen. Solche Formen sind immer äquiva- 

 lent. Wendet man nämlich auf die erste die Substitution (_ 0, U an, welche 

 die Bedingung (3) erfüllt, ohne dafs £ bestimmt wird, so erhält man eine 

 neue Form, deren erster Coefficient = a ist, während der zweite = — b — d$ 



dem gegebenen b' gleich wird, wenn man £ = — — r— setz.t. Für unsere 

 Formen wird die Gleichung (4) zwischen den gleichnamigen zu denselben 

 Math. Kl. 1854. O 



