106 Dirichlet: Vereinfachung der Theorie 



gehörigen Wurzeln w, w, 



w = (5 — — , , oder w = — s . 



Wenn von den beiden zur Form (a, b, c) gehörigen Wurzeln 

 — b — Vd — b •+• Vd 



, 



C C 



die erste ihrem absoluten Werthe nach über, die zweite unter der Einheit 

 liegt, und diese Wurzeln überdies entgegengesetzte Zeichen haben , so heifst 

 die Form eine reducirte. In Folge der ersten Bedingung ist b>o, in 

 Folge der zweiten b < ]']). Das Produkt — a c = J) — b- ist demnach 

 positiv, d. h. die äufseren Coefficienten a, c haben entgegengesetzte Zeichen, 

 und es leuchtet zugleich ein, dafs das Zeichen der ersten Wurzel mit dem 

 von a übereinstimmt und dem Zeichen von c entgegengesetzt ist. 



Ist die Form (a, b, c) eine reducirte, so ist es auch die Form (c, 6, a), 

 wie dies daraus folgt, dafs offenbar jede zu der einen gehörige Wurzel 

 dem reciproken Werthe der zur andern gehörigen ungleichnamigen Wurzel 

 gleich ist. 



Für jede Determinante D giebt es nur eine endliche Anzahl von re- 

 ducirten Formen, die man sämmtlich erhält, wenn man für jedes positive 

 b < V D, alle positiven und negativen Faktoren c von 7J— b 2 aufsucht, welche 

 ihrem absoluten Werthe nach zwischen y D -+■ b und VI) — b liegen, und 

 dann für jede so erhaltene Combination b, c den ei'sten Coefficienten a durch 



die Formel a = — bestimmt. 



c 



Es soll jetzt mit Beibehaltung der §. 3, III gebrauchten Zeichen und 

 unter der Voraussetzung dafs (a, b, d) eine gegebene reducirte Form sei, un- 

 tersucht werden, ob unter den dieser nach der rechten Seite benachbarten 

 Formen (d, b', a"), deren mittlere Coefficienten durch die Gleichung b' = 

 — b — a '& bestimmt werden, es eine oder mehrere reducirte giebt. Hierzu 

 bemerke man zunächst, dafs, wenn (d, b , d') eine reducirte Form sein soll, 

 die zu ihr gehörige erste Wurzel w' in ihrem Zeichen der ersten zu (er, b, d) 

 gehörigen Wurzel w entgegengesetzt sein mufs, da dieselbe Zahl d in der 

 einen Form als erster, in der andern als dritter Coefficient vorkommt. Hier- 



