der binären quadratischen Formen von positiver Determinante. 107 



nach ist also in der Gleichung w'= . , wenn darin w den ersten Werth 



von w bedeutet, die willkürliche ganze Zahl £ so zu wählen, dafs u' ein un- 

 echter Bruch werde und w im Zeichen entgegensetzt sei. Diese Forderung, 

 ganz gleichbedeutend mit der, dafs u> — £ ein echter Bruch werde und im 

 Zeichen mit w übereinstimme, läfst sich offenbar immer und zwar nur auf 

 eine Art erfüllen, indem man für & diejenige der beiden w unmittelbar be- 

 nachbarten ganzen Zahlen zu wählen hat, welche auf derselben Seite von w 

 liegt, wo sich die Null befindet. Da w numerisch gröfser als die Einheit ist, 

 so kann diese völlig bestimmte ganze Zahl § nie Null sein, stimmt im Zei- 

 chen mit w überein, und liegt ihrem absoluten Werthe nach unmittelbar un- 

 ter dem von w. Es ist hierdurch schon dargethan, dafs es unter den Formen 

 (d, b', a") nicht mehr als eine reducirte geben kann. Dafs aber die dem 

 eben definirten Werthe von £ entsprechende Form wirklich eine reducirte 

 ist, erhellt wie folgt. Läfst man in unserer Gleichung w' = r , w die 



zweite Wurzel bedeuten, so hat w dasselbe Zeichen wie — Ä, da $ im Zeichen 

 mit dem ersten Werthe von w übereinstimmt. Der Nenner w — £, dessen 

 zweiter Bestandtheil wenigstens der Einheit gleich ist, ist also ein unechter 

 Bruch und folglich w' ein echter Bruch, dessen Zeichen mit dem von £ und 

 also auch mit dem der ersten Wurzel w übereinstimmt d. h. dem Zeichen 

 der ersten Wurzel w' entgegengesetzt ist, wie es sein mufs. 



Um den mittleren Coefficienten b der völlig bestimmten reducirten 

 Form (d, b', a"), welche der gegebenen (a, b, d) nach der rechten Seite 

 benachbart ist, bequem darzustellen, bemerke man, dafs nach Obigem, wenn 

 u) — <b = <r gesetzt wird, wo w die erste Wurzel bezeichnet, r ein echter 

 Bruch von demselben Zeichen wie w sein wird. Setzt man nun w — er statt 

 £ in die Gleichung b' = — b — a'$, und führt zugleich für w seinen Werth 

 ein, so erhält man b' = ]//> 4- d er. Hiernach und da der echte Bruch 7 hin- 

 sichtlich seines Zeichens mit w übereinstimmt und folglich d entgegengesetzt 

 ist, liegt also b' zwischen VD und V J) ip d, wo das obere oder das untere 

 Zeichen gilt, je nachdem d positiv oder negativ ist. Durch diese Bedingung 

 mit der Congruenz 6'= — b, (mod. d) verbunden, wird b' leicht und ohne 

 Zweideutigkeit erhalten. 



Auf dieselbe Weise oder noch einfacher, indem man vermittelst der 

 oben gemachten Bemerkung die Frage auf die eben behandelte zurückführt, 



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