der binären quadratischen Formen von positiver Determinante. 109 

 auch durch Wiederholung der aus denselhen Formen gebildeten Periode 



erzeugt werden kann. 



Da nach §. 3 eine Form </>„ und die zu ihr gehörigen Wurzeln u, sich 

 gegenseitig bestimmen, so ist auch für die Gleichheit von zwei gleichnamigen 

 Wurzeln w u , w v die erforderliche und ausreichende Bedingung in der Con- 

 gruenz y. = v, (mod. 2n) gegeben. 



Bezeichnet ferner £, die in dem absoluten Werthe der ersten Wurzel 

 w„ enthaltene gröfste ganze Zahl, mit dem Zeichen von w v genommen, so 

 findet nach §. 4 zwischen den gleichnamigen Wurzeln w v , w„ + , die Gleichung 



" — " w, +1 



Statt. Da $„ durch die erste Wurzel w, völlig bestimmt wird, so hat die 

 Congruenz fx = v, (mod. :n) die Gleichung S^ = £„ zur Folge, aber natürlich 

 nicht umgekehrt. 



Da es gleichgültig ist, welchem Gliede der Reihe wir den Index Null 

 beilegen, so soll zur Vermeidung unnützer Unterscheidungen angenommen 

 werden, dafs die ersten Coefficienten der Formen mit geradem Index positiv 

 sind. Unter dieser Voraussetzung stimmt also das Zeichen jeder ersten Wur- 

 zel in, und des entsprechenden Werthes S v mit dem von ( — i)" überein, wo- 

 gegen die zweite Wurzel ui v das entgegengesetzte Zeichen hat. 

 Wir bezeichnen endlich noch den absoluten Werth von £, mit k,, so dafs 

 also ^ = ( — i )"/<•„ und wieder k u = k v sein wird, wenn u und v nach dem 

 Modul 2n congruent sind. 



Multiplicirt man obige Gleichung »„ = £„— - — = (— ij'fr" — 



und alle ähnlichen folgenden, je nachdem v gerade oder ungerade ist, ab- 

 wechselnd mit + i, Zf. i, so erhält man 



± w v = h, + —i— , + a ., = k y+l -4-q— — , etc. 



Versteht man nun unter den gleichnamigen Wurzeln w,, w„ +l , w v+2 , . . erste 

 Wurzeln, so sind + w„, ip w i+i| , . . positive unechte Brüche. Man hat also 

 die normale rein periodische Kettenbruchentwicklung 



± u, = (&„, k v+i , k y+2 , . .) oder 



